Matricat katrore të posaçme

Në p. 3. kemi përmend disa Iloje të posaçme të matricave katrore. Të plotësojmë atë listë edhe me këto matrica katrore të posaçme:

1°. Matrica katrore $A$ quhet matricë involutive nëse $A^2=E$.

2°. Matrica regulare $A$ quhet matricë ortogonale nëse $A^{\prime }=A^{-1}$.

3°. Matrica katrore $A$ quhet matricë e pjerrët-simetrike nëse $A=-A^{\prime }$.

4°. Matrica katrore komplekse $A$ quhet matricë e Hermitit nëse $A^{\prime }=A$, ku me $A^{\prime }$ është shënuar matrica e transponuar e matricës $A$ me elemente të konjuguara.

5°. Matrica katrore komplekse $A$ quhet matricë unitare nëse ${\overline{A}}^{\prime }=A^{-1}$.

6°. Matrica katrore $A(\ne 0)$ është matricë idempotente nëse $A^n=A$, kurse është matricë nilpotente nëse $A^n=0(1<n\in N)$.

Matrica e Hermitit

Nëse $A$ është matricë katrore, të vërtetohet se $A+A^{\prime }$ është matricë simetrike, kurse $A+{\overline{A}}^{\prime }$ është matricë e Hermitit.

V ë r t e t i m: Në bazë të ligjeve për transponimin e matricave (p. 4.1.) kemi:

(a) $(A+A^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+(A^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+A$, d.m.th. $(A+A^{\prime }{)}^{\prime }=A+A^{\prime }$, prandaj konkludojmë se $A+A^{\prime }$ është matricë simetrike;

(b) $(A+{\overline{A}}^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+({\overline{A}}^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+\overline{A}$,

$\overline{A^{\prime }+\overline{A}}={\overline{A}}^{\prime }+(\bar{\overline{A}})={\overline{A}}^{\prime }+A$,

d.m.th.:

$(\overline{A+{\overline{A}}^{\prime }}{)}^{\prime }=(\overline{A^{\prime }+\overline{A}})={\overline{A}}^{\prime }+A$,

prandaj konkludojmë se $A+A^{\prime }$ është matricë e Hermitit.

Format lineare