Hipi Zhdripi i Matematikës/1271

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë: $(u+v-w{)}^{\prime }=u^{\prime }+v-w^{\prime }$.

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$. (41)

Stampa:V ë r t e t i m Le të marrim funksionin $y=f(x)$ që është shprehur si prodhimi i dy funsioneve: $f(x)=u(x)\cdot v(x)$. Shtesa e këtij funksioni është:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }y& =u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x)\\ & =u(x+\mathrm{\Delta }x)v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x)\\ & =[u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)]\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot [v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)]\\ & =\mathrm{\Delta }u\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)-\mathrm{\Delta }v,\end{array}$

kurse raporti i kësaj shtese me shtesën e argumentit:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }u\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot \mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}$.

Stampa:Dygishta Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, shprehet:

$\begin{array}{cc}f(x)& =[u(x)v(x){]}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}]=\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}v(x+\mathrm{\Delta }x)]+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[u(x)\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}]=\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x).\end{array}$

Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$. Stampa:Dygishta P.sh., derivati i funksionit $y=(2x+3)(x^2-3x+5)$ mund të njehsohet si derivati i prodhimit të funksioneve $u(x)=2x+3$ dhe $v(x)=x^2-3x+5$

Stampa:Dygishta $\begin{array}{cc}y=(u\cdot v{)}^{\prime }& =(2x+3{)}^{\prime }(x^2-3x+5)+(2x+3)(x^2-3x+5{)}^{\prime }\\ & =6x^2-6x+1,\end{array}$

këtu kemi marrë: $(2x+3{)}^{\prime }=2,(x^2-3x+5{)}^{\prime }=2x-3$.

Stampa:Dygishta Duke aplikuar formulën për derivatin e prodhimit dhe metodën e induksionit të plotë matematikor e nxjerrim formulën për derivatin e funksionit fuqi $y=x^n,n\in \mathbb{N}$.

Stampa:Dygishta Vërtet, e dimë se për $n=2$ vlen : $(x^2{)}^{\prime }=2x^{2-1}=2x$. Supozojmë se për $n⩾2$ është e saktë formula:

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

konkludojmë se:

$(x^{n+1}{)}^{\prime }=(x\cdot x^n{)}^{\prime }=(x{)}^{\prime }{x}^n+x(x^n{)}^{\prime }=x^n+n{x}^n=(n+1)x^n$,

çka do të thotë se

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1},n\in \mathbb{N}$. (39a)