Hipi Zhdripi i Matematikës/1268

Duhet të vërtetojmë se $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$. Për këtë qëllim marrim relacionin

$\underset{x\to a}{\lim }[(f(x)-f(a)]=\underset{x\to a}{\lim }[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)]$

dhe në te zëvendësojmë $x=a+\mathrm{\Delta }x(\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{\Delta }x\to 0\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}x\to a)$

$\begin{array}{cc}\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-f(a)]& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{x}\cdot \mathrm{\Delta }x\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }x\\ & =f^{\prime }(a)\cdot 0=0.\end{array}$

Pra, përftuam se:

$\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-f(a)]=0\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$,

me çka vërtetohet pohimi i teoremës.

Stampa:Dygishta Nga kjo teoremë mund të kunkludohet se vazhdueshmëria e funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ është kusht i nevojshëm për derivueshmërinë e tij në këtë pikë, por ky kusht nuk është i mjaftueshëm. Kështu janë të njohura tri raste karakteristike, kur funksioni është i vazhdueshëm në një pikë, por nuk është i derivueshëm në te. Këto pika karakteristike të grafikut të funksionit quhen: pika këndore, pika e kthimit me tangjente vertikale dhe pika e infleksionit me tangjenten vertikale të funksionit.

Stampa:Dygishta Pika $M_1(x_1,y_1)$ e grafikut të funksionit $y=f(x)$ quhet pikë këndore e tij (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë ekziston derivati i majtë dhe derivati i djathtë, por ato kanë vlera të ndryshme, d.m.th.

$f{\text{'}}_{-}(x_1)=\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_1,f{\text{'}}_{+}(x_1)=\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_2,\mathrm{k}\mathrm{u}f{\text{'}}_{-}(x_1)\ne f{\text{'}}_{+}(x_1).$

Pra, në pikën këndore të funksionit në grafikun e tij mund të tërhiqen dy tangjente.

Fig. 7.20.

Stampa:Dygishta Pika $M_2(x_2,y_2)$ e grafikut të funksionit $y=f(x)$ quhet pikë e kthimit me tangjente vertikale (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë derivatet e njëanshme janë të pafundme dhe me parashenja të kundërta. Në një pikë të këtillë të grafikut të funksionit ekzistajnë dy tangjente vertikale të përputhura.

Stampa:Dygishta Pika $M_3(x_3,y_3)$ e grafikut të funksionit $y=f(x)$ quhet pikë e infleksionit me tangjenten vertikale (fig. 7.20.), nëse në këtë pikë derivati i funksionit është i pafundëm, d.m.th. $f^{\prime }(x_3)=+\mathrm{\infty }$ (ose $-\mathrm{\infty }$). Në një pikë të këtillë në grafikun e funksionit ekziston vetëm një tangjente vertikale. Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta