Hipi Zhdripi i Matematikës/1265

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:V ë r t e t i m Le të marrim se $C$ paraqet një vlerë ndërmjet $f(a)$ dhe $f(b)$. Duhet të tregojmë se ekziston së paku një pikë $c\in [a,b]$ e atillë që $f(c)=C$.

Stampa:Dygishta Për këtë qëllim e marrim funksionin $g(x)=f(x)-C$ i cili është i vazhdueshëm në $[a,b]$ (sipas teoremës 2.7.2.1.) dhe në skanjet e tij merr vlera me parashenja të kundërta, d.m.th. funksioni $g(x)=f(x)-C$ i plotëson konditat e teoremës së Bolzanos, prandaj ndërmjet pikave $a$ dhe $b$ ka të paktën një pikë $c$ e atillë që $g(c)=f(c)-C=0$ ose $f(c)=C$, çka vërteton pohimin e teoremës.

3. DERIVATET E FUNKSIONIT

3.1. KUPTIMI I DERIVATIT DHE INTERPRETIMI I TIJ GJEOMETRIK DHE MEKANIK

Stampa:Dygishta Le të marrim funksionin $y=f(x)$ e përcaktuar në intervalin $(a,b)$. Le të jetë $x$ një pikë e fiksuar, kurse $x+\mathrm{\Delta }x$ një pikë çfarëdo e këtij intervali, d.m.th. $a<x<b,a<x+\mathrm{\Delta }x<b$. E dimë se shtesës së argumentit $\mathrm{\Delta }x$ i korrespondon shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ (p. 2.7.). Shqyrtojmë raportin (herësin) e këtyre shtesave:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$.(32)

Ky raport është funksion i ndryshores $\mathrm{\Delta }x$ i përcaktuar për të gjitha vlerat $\mathrm{\Delta }x$ nga intervali $(a-x,b-x)$, përpos për $\mathrm{\Delta }x=0$. Nëse ekziston vlera kufitare e këtij funksioni, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, ajo quhet derivat i parë, ose shkurt derivat i funksionit $y=f(x)$ në pikën e dhënë $x$, pra:

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  3.1.1. - Derivat i funksionit $y=f(x)$ në pikën $x$ quhet limiti i raportit të shtesës së funksionit $\mathrm{\Delta }y$ me shtesën e argumentit $\mathrm{\Delta }x$ (kur shtesa argumentit tendon në zero), nëse ky limit ekziston dhe është i fundëm.[1]

Stampa:Dygishta Derivati i funksionit $y=f(x)$ shënohet me $y^{\prime }$ ose $f(x)$ ose $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ dhe lexohet: $y$ prim ose ef prim në pikën $x$ ose de $y$ për de $x$. Pra:

$y^{\prime }(=f(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$. (33)

Stampa:Dygishta Për të njehsuar derivatin e funksionit $y=f(x)$ në pikën $x$ sipas këtij përkufizimi duhet të kryhen këto veprime:

Stampa:Dygishta 1 ° të njehsohet shtesa $\mathrm{\Delta }y$ e funksionit që i korrespondon shtesës $\mathrm{\Delta }x$ të argumentit: $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$;

Stampa:Dygishta 2° të gjendet raporti i shtesës së funksionit me shtesën e argumentit:$frac\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }x$; dhe