Hipi Zhdripi i Matematikës/1260

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Z g j i d h j e Meqenëse:

$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-e^x}{\sin 2x-\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x(e^x-1)}{\sin x(2\cos x-1)}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2\cos x-1}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{\sin x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}}{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}\\ & =\left|\begin{array}{c}\mathrm{Z}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{.}{e}^x-1\Rightarrow y=\ln (1+y)\\ \mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{r}x\to 0\Rightarrow y\to 0\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{y}{\ln (1+y)}\\ & =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{1}{y}\cdot \ln (1+y)}=\frac{1}{\ln \left[\underset{y\to 0}{\lim }{(1+y)}^{1/y}\right]}=1\end{array}$

konkludojmë se funksionet e dhëna janë ekuivalente.

2.7. VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT

Stampa:Dygishta Me konceptin e limitit është i lidhur ngushtësisht edhe një koncept tjetër fundamental i analizës matematike - koncepti i vazhdueshmërisë së .funksionit. Në shumë procese dhe fenomene natyrore dhe shoqërore është prezente ideja e vazhdueshmërisë së zhvillimit, ku ndryshimeve pambarimisht të vogla të faktorëve nga të cilët varen ato procese dhe fenomene u përgjigjen ndryshime pambarimisht të vogla të tyre. Kjo cilësi, në të vërtetë, përbën esencën e konceptit të vazhdueshmërisë. Zatën, funksionet e vazhdueshme përmbajnë klasën themelore të funksioneve që shqyrtohen në analizën matematike. Të shohim tani këtu kriterin matematik të vazhdueshmerisë.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.1. - Funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm në pikën $a$, nëse ekziston limiti i tij në pikën $a$ dhe ky limit është i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë[1], pra:

$\underset{to}{\lim }f(x)=f(a)$. (31)

Stampa:Dygishta Nga ky përkufizim del se funksioni $y=f(x)$ është i vazhdueshëm në pikën $a$, nëse plotësohen këto tri kondita:

Stampa:Dygishta 1° funksioni $f(x)$ është i përkufizuar në pikën $a$; Stampa:Dygishta 2° ekziston limiti i funksionit $f(x)$ në pikën $a$ dhe Stampa:Dygishta 3° Limiti i funksionit $f(x)$ në pikën $a$ është i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë.

Stampa:Dygishta P.sh., funksioni $y=\sin x$ është i vazhdueshëm në pikën $x=2$, meqenëse është i përkufizuar në këtë pikë, ku $\sin \frac{\pi }{2}$ dhe $\underset{x\to -\frac{\pi }{2}}{\lim }\sin x=\sin \frac{\pi }{2}=1$.