Hipi Zhdripi i Matematikës/1159

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet vektori $\overrightarrow{x}$ i cili është normal në vektorët $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ dhe $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, kurse projeksioni i tij në vektorin $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ është i barabartë me $1$. Stampa:Z g j i d h j e Vektori x shprehet në këtë mënyrë:

$\overrightarrow{x}=m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=-2m\overrightarrow{i}+m\overrightarrow{j}+2m\overrightarrow{k}$,

ndërsa projeksioni i tij në vektorin $\overrightarrow{c}$:

$pr{.}_{\overrightarrow{e}}\overrightarrow{x}=\frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{c}}{c}=\frac{(-2m\overrightarrow{i}+m\overrightarrow{j}+2m\overrightarrow{k})\cdot (\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})}{3}=\frac{4m}{3}$

nga marrim se

$\frac{4m}{3}=1\Rightarrow m=\frac{3}{4}$.

Pra:

$\overrightarrow{x}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{i}+\frac{3}{4}\overrightarrow{j}+\frac{3}{2}\overrightarrow{k}$.

Stampa:S h e m b u l l i Forca $\overrightarrow{F}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$ vepron në pikën $A(2,-1,1)$. Të njehsohet momenti i kësaj force ndaj origjinës së sistemit të koordinatave. Stampa:Z g j i d h j e Duke zbatuar formulën (23a) marrim:

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 2& -1& 1\\ 3& 2& -4\end{array}\right|=2\overrightarrow{i}+11\overrightarrow{j}+7\overrightarrow{k}$,

ku $\overrightarrow{r}(=\overrightarrow{0A})=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$.

4.3. PRODHIMI I PËRZIER I TRE VEKTORËVE

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  4.3.1. - Prodhimi i përzier i tre vektorëve $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ quhet prodhimi skalar i vektorit $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ me vekiorin $\overrightarrow{c}$ dhe shënohet $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ ose $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]$. Stampa:Dygishta Ngase në prodhimin e përzier $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ kemi edhe prodhimin skalar edhe atë vektorial të vektorëve, ky prodhim ngandonjëherë quhet prodhimi skalaro-vektorial. Stampa:Dygishta Prodhimi skalaro-vektorial i tre vektorëve jokomplanarë $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ është i barabartë me vlerën numerike të vëllimit të paralelopipedit të ndërtuar mbi këta vektorë me parashenjën + ose -, varësisht se a formojnë ata vektorë reperin (triedrin) e djathtë apo të majtë të vektorëve. Stampa:Dygishta Vërtet:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$	$=[ab\sin (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})]({\overrightarrow{d}}_0\cdot \overrightarrow{c})$
	$=S_{\diamond }pr{.}_{{\overrightarrow{d}}_0}\overrightarrow{c}=S_{\diamond }h=V$ ,	(...27)