Hipi Zhdripi i Matematikës/1125

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaThuhet se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm nëse ekziston bashkësia e vlerave $t_k(k=1,2,...,n)$ e atillë që

$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{t}_k=b_i(i=1,2,...,m)$(...44a)

paraqet një sistem i $m$ formulave të sakta. Bashkësia e vlerave të atilla quhet zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare (44).

Stampa:T e o r e m a e Kronecker - Capellit. - Sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse $r(A)=r(B)$. Stampa:V ë r t e t i m Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm, implikon që $r(A)=r(B)$. Stampa:DygishtaVërtet, kur e shumëzojmë me radhë shtyllën e parë, të dytë,$\cdots$, shtyllën $n$ të matricës $B$ me numrat: $-t_1,-t_2,\dots t_n$ dhe pastaj ato prodhime i shtojmë shtyllës së fundit, përftohet kjo matricë ekuivalente:

$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& & b_1-\sum _{k=1}^n{a}_{1k}{t}_k\\ ⋮& & & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& & b_m-\sum _{k=1}^n{a}_{mk}{t}_k\end{array}\right]$

Stampa:DygishtaTë gjitha elementet e shtyllës $n+1$ të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në bazë të formulave (44a)), prandaj konkludojmë se $r(A)=r(B)$. Stampa:DygishtaHipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse kushti $r(A)=r(B)$ implikon që sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm. Stampa:DygishtaVërtet, kur $r(A)=r(B)=r$, atëherë ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$ të matricës $A$. Le të supozojmë se submatrica e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës. Në këtë rast $r$ rreshta të parë të matricës $A$ dhe matricës $B$ janë linearisht të pavarur, ndërkaq rreshtat tjerë në këto matrica janë kombinime lineare nga ata $r$ rreshta të para. Nga kjo del se tani sistemi i ekuacioneve lineare (44) reduktohet në $r$ ekuacione lineare me $n$ të panjohura:

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& \cdots & +& a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1& +& a_{22}{x}_2& +& \cdots & +& a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ & & & & & & & ⋮& \\ a_{r1}{x}_1& +& a_{r2}{x}_2& +& \cdots & +& a_{rn}{x}_n& =& b_r\end{array}$

ndërsa ekuacionet tjera të atij sistemi mund të flaken (mënjanohen). Stampa:DygishtaVarësisht prej vlerës së numrit r, dallojmë këto dy raste:

Stampa:Dygishta1°. Kur $r=n$ (d.m.th. kur $r(A)=n$), sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm dhe i caktuar, zgjidhjen e tij mund ta njehsojmë me formulat e Cramerit ose me algoritmin e Gaussit; dhe Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta