Hipi Zhdripi i Matematikës/1103

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta

të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori

D

mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.

Stampa:DygishtaNë përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit $a_{i k}$ shënohet me $D_{i k}$ . Prodhimi i minorit $D_{i k}$ me numrin $(- 1)^{1 + k}$ quhet kofaktor (komplementi algjebrik) i elementit $a_{i k}$ dhe shënohet $A_{i k}$ , pra:

A_{i k} = (- 1)^{i + k} D_{i k}

. (...27)

Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë:

D = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}

Stampa:DygishtaNuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë $D$ mund të shprehet me formulat:

D = {\begin{matrix} a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + a_{i 3} A_{i 3} & (i = 1, 2, 3) \\ a_{1 k} A_{1 k} + a_{2 k} A_{2 k} + a_{3 k} A_{3 k} & (k = 1, 2, 3) \end{matrix}

(...28)

që quhen formulat e Laplacit^[1].

Stampa:DygishtaKur formulat e Laplacit i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit $n$ përftojmë:

D = {\begin{matrix} a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} & (i = 1, 2, \dots, n) \\ a_{1 k} A_{1 k} + a_{2 k} A_{2 k} + \dots + a_{n k} A_{n k} & (k = 1, 2, \dots, n) \end{matrix}

^[2](...28a)

Stampa:DygishtaNga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit $n$ reduktohet në njehsimin e $n$ përcaktorëve të rendit $n - 1$ . Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet vlera e përcaktorit

D = | \begin{matrix} a^{2} & 2 a b & b^{2} \\ a c & a d + b c & b d \\ c^{2} & 2 c d & d^{2} \end{matrix} |

Stampa:Z g j i d h j e E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;

Stampa:Dygishta	$D$	$= - a c \| \begin{matrix} 2 a b & b^{2} \\ 2 c d & d^{2} \end{matrix} \| + (a d + b c) \| \begin{matrix} a^{2} & b^{2} \\ c^{2} & d^{2} \end{matrix} \| - b d \| \begin{matrix} a^{2} & 2 a b \\ c^{2} & 2 c d \end{matrix} \|$
		$= - 2 a b c d \| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \| + (a d + b c) \| \begin{matrix} a^{2} & b^{2} \\ c^{2} & d^{2} \end{matrix} \| - 2 a b c d \| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \|$ $= - 4 a b c d \| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \| + (a d + b c) (a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2})$ $= - 4 a b c d (a d - b c) + (a d - b c)^{2} (a d - b c)$ $= (a d - b c) [(a d - b c)^{3} - 4 a b c d] = (a d - b c)^{3}$ .

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta

↑ 4) Sipas emrit të matematikanit të shquar francez Pilere Simon de Laplace (1749-1827).
↑ 5) Vërtetimin e këtyre formulave mund ta gjeni në [21), fq. 85-87.

[1] 4) Sipas emrit të matematikanit të shquar francez Pilere Simon de Laplace (1749-1827).

[2] 5) Vërtetimin e këtyre formulave mund ta gjeni në [21), fq. 85-87.

[1]

[2]

Hipi Zhdripi i Matematikës/1103

Menuja e navigimit

Kërko