Hipi Zhdripi i Matematikës/1038

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  5.1.5. - Grupoidi Stampa:Mate quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar $\circ$ është asociativ. Stampa:Dygishta P.sh. : Stampa:Mate ku Stampa:Mate janë semigrupe. Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  5.1.6. - Elementi Stampa:Mate quhet element neutral për veprimin $\circ$ në bashkësinë A, nëse vlen :

Stampa:Mate (...49)

Stampa:Dygishta Elementi neutral Stampa:Mate quhet edhe element njësi. Në bashkësinë $ℝ$ elementi neutral për mbledhjen është Stampa:Mate (zero), ndërkaq për shumëzimin është Stampa:Mate . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët $\varnothing$ . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik Stampa:Mate . Grupoidi Stampa:Mate nuk ka elementin neutral. Stampa:T e o r e m a Nëse grupoidi Stampa:Mate përmban elementin neutral, ai është i vetmi. Stampa:V ë r t e t i m Le të supozojmë të kundërtën - se në Stampa:Mate ekzistojnë dy elemente neutrale Stampa:Mate për veprimin binar $\circ$ . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari Stampa:Mate me Stampa:Mate , Stampa:Mate me Stampa:Mate dhe së dyti Stampa:Mate me Stampa:Mate , Stampa:Mate me Stampa:Mate përftojmë :

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate,

prej kah rezulton se Stampa:Mate . Pra, konkludojmë se grupoidi Stampa:Mate nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin Stampa:Mate .

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  5.1.7. - Kur semigrupi Stampa:Mate përmban elementin neutral Stampa:Mate , elementi Stampa:Mate quhet element invers i elementit Stampa:Mate në lidhje me veprimin $\circ$ , nëse vlen :

Stampa:Mate . (...50)

P.sh.,

Stampa:Dygishta Elementi invers i elementit Stampa:Mate rëndom shënohet me Stampa:Mate . P.sh., në semigrupin Stampa:Mate me elementin neutral Stampa:Mate , për cilindo element Stampa:Mate elementi invers është numri i kundërt Stampa:Mate , ndërkaq në semigrupin Stampa:Mate , përveç elementeve Stampa:Mate dhe Stampa:Mate , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin Stampa:Mate me elementin neutral Stampa:Mate , për cilindo element Stampa:Mate , elementi invers është numri reciprok Stampa:Mate . Stampa:T e o r e m a Nëse semigrupi Stampa:Mate për elementin Stampa:Mate përmban elementin invers Stampa:Mate , ai është i vetmi. Stampa:V ë r t e t i m : Le të supozojmë të kundërtën - se Stampa:Mate janë dy elemente inverse të elementit Stampa:Mate . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari Stampa:Mate me Stampa:Mate , së dyti Stampa:Mate me Stampa:Mate përftojmë :

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate .

Meqë Stampa:Mate dhe veprimi $\circ$ është asociativ, kemi:

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate

d.m.th. se Stampa:Mate , çka duhej vërtetuar.