Hipi Zhdripi i Matematikës/1286

3.10. KUPTIMI I DIFERENCIALIT DHE INTERPRETIMI I TIJ GJEOMETRIK

Stampa:Dygishta Koncepti i diferencialit të funksionit është i lidhur ngusht me konceptin e derivatit. Vërtet, nëse supozojmë se funksioni $y=f(x)$ është i derivueshëm në pikën $x$, d.m.th., $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x)$, në bazë të formulës (44), kemi:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x)+\alpha \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+\alpha \mathrm{\Delta }x$, (44a)

ku $\alpha \to 0$ kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Në këtë barazi shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y$ është paraqitur në formën e shumës së dy mbledhësve, ku:

Stampa:Dygishta - mbledhësin e parë e përbën prodhimi $f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$ që është një madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ e rendit të njëjtë me $\mathrm{\Delta }x$; kurse

Stampa:Dygishta - mbledhësin e dytë e përbën prodhimi $\alpha \mathrm{\Delta }x$ që është një madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ e rendit më të lartë se $\mathrm{\Delta }x$, sepse:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\alpha \mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\alpha =0$.

Stampa:Dygishta Mbledhësi $f(x)\mathrm{\Delta }x$ i shtesës së funksionit $\mathrm{\Delta }y$ quhet diferencal i funksionit dhe shënohet me $dy$, pra:

$dy=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$. (65)

Stampa:Dygishta Nga kjo formulë shihet se diferenciali i funksionit është funksion i dy variablave - i argumentit $x$ dhe shtesës së tij $\mathrm{\Delta }x$. Kur shtesa e argumentit $\mathrm{\Delta }x$ është madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$, atëherë edhe diferenciali i funksionit $dy$ është madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ rendit të njëjtë me $\mathrm{\Delta }x$, ndërkaq ndryshimi i shtesës së funksionit $\mathrm{\Delta }y$ dhe diferencialit të tij $dy$ (d.m.th. $\mathrm{\Delta }y-dy=\alpha \mathrm{\Delta }x$) është madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ e rendit më të lartë se $\mathrm{\Delta }x$. Për këtë arsye, në aplikimet e diferencialit në njehsime të përafërta, merret se $\mathrm{\Delta }y\approx dy$.

Stampa:Dygishta Në rastin e përgjithshëm shtesën e argumentit $\mathrm{\Delta }x$, që paraqitet në formulën (44a), nuk duhet konsideruar patjetër si madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$, por atë duhet kuptuar si madhësi variabile vlerat e së cilës rëndom formojnë një varg $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$. Mu për këtë arsye kjo shtesë quhet edhe diferencial i argumentit dhe shënohet me $dx$, pra,,$\mathrm{\Delta }x=dx$. Kjo është në pajtim edhe me faktin se kur $y=x$, diferenciali i funksionit është i barabartë me diferencialin e argumentit, ndërkaq nga formula (65) marrim : $dy=(x{)}^{\prime }\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }x$, prandaj konkludojmë se $\mathrm{\Delta }x=dx$. Nga këto që thamë del se formula (65) shkruhet:

$dy=f(x)dx$, (65a)

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta