Hipi Zhdripi i Matematikës/1281

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:S h e m b u l l i Derivati i funksionit $y=10^{x\mathrm{t}\mathrm{g}x}$ është:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =(10^{x\mathrm{t}\mathrm{g}x}{)}^{\prime }=10^{x\mathrm{t}\mathrm{g}x}\ln 10-(x\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=\\ & =10^{x\mathrm{t}\mathrm{g}x}(\mathrm{t}\mathrm{g}x+\frac{x}{{\cos }^{2}x})\ln 10.\end{array}$

Stampa:T e o r e m a, pra

$(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1$ (57)

Stampa:V ë r t e t i m Meqenëse harkfunksioni $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin x$ është funksion invers i funksionit trigonometrik $y=\sin x$, andaj në bazë të formulës (45) kemi:

$y^{\prime }=(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}sinx{)}^{\prime }=\frac{1}{(\sin y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

ku në shprehjen e fundit zëvendësuam $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin x$.

Stampa:Dygishta Për funksionin e përbërë $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin u$ kemi

$(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}},|u|<1$. (57a)

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1$. (58)

Stampa:V ë r t e t i m Marrim identitetin (shih shembullin 20):

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin x+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos x=\frac{\pi }{2}$ .

Stampa:Dygishta Me dervimin e këtij identiteti përftohet: $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin x{)}^{\prime }+(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos x{)}^{\prime }=0$, prej nga del:

$(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos x{)}^{\prime }=-(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Stampa:Dygishta Për funksionin e përbërë $y=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos u$ kemi formulën:

$(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos u{)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}},|u|<1$. (58a)

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$. (59)

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta