Hipi Zhdripi i Matematikës/1280

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Derivati i funksionit të përbërë $y=\cos u$ përcaktohet me formulën:

$(\cos u{)}^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }$. (54a)

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. (55)

Stampa:V ë r t e t i m Duke aplikuar formulat (42), (53), (54) marrim:

$\begin{array}{cc}(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }& =\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{co{s}^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\end{array}$

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$. (56)

Stampa:V ë r t e t i m Pasi që $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x=\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-x)$, andaj del

$(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }=\left[\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-x)\right]=\frac{(\frac{\pi }{2}-x)}{{\cos }^2(\frac{\pi }{2}-x)}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Stampa:Dygishta Për funksionin e përbërë $y=\mathrm{t}\mathrm{g}u$ kemi:

$(\mathrm{t}\mathrm{g}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$. (55a)

Stampa:Dygishta Për funksionin e përbërë $y=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}u$ kemi

$(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}u{)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$. (56a)

Stampa:S h e m b u l l i Derivati i funksionit $y=e^{\cos x}\sin x$ është:

Stampa:Dygishta $\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =(e^{\cos x}\sin x{)}^{\prime }=(e^{\cos x}{)}^{\prime }\sin x+e^{\cos x}(sinx{)}^{\prime }\\ & =e^{\cos x}(\cos x{)}^{\prime }\sin x+e^{\cos x}\cos x=e^{\cos x}(\cos x-{\sin }^{2}x).\end{array}$