Hipi Zhdripi i Matematikës/1279

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Kur në formulën (52) argumentin trajtojmë si argument ndërmjetës dhe shënojmë me $u$ , marrim formulën

$(u^a{)}^{\prime }=a{u}^{a-1}{u}^{\prime }$ . (52a)

Stampa:S h e m b u l l i Derivati i funksionit $y=\sqrt{a^2+x2}$ është:

$y^{\prime }=\left(\sqrt{a^2+x^2}\right)=\frac{1}{2}(a^2+x^2{)}^{-1/2}(a^2+x^2{)}^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$ .

Stampa:T e o r e m a, pra

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ . (53)

Stampa:V ë r t e t i m Këtu raporti i shtesave është:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\sin (x+\mathrm{\Delta }x)-\sin x}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2\sin \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}\cos (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\sin \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}\cos (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})$

e vlera kufitare e këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, shprehet:

$\begin{array}{cc}(\sin x{)}^{\prime }& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}\cos (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\cos (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})=\cos x.\end{array}$

Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ .

Stampa:Dygishta Kur $y=\sin u$ është funksion i përbërë, derivati i tij përcaktohet me formulën

$(\sin u{)}^{\prime }=\cos u\cdot u^{\prime }$ . (53a)

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ . (54)

Stampa:V ë r t e t i m Pasi që $\cos x=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$ andaj del:

$(\cos x{)}^{\prime }=[\sin (\frac{\pi }{2}-x)]=\cos (\frac{\pi }{2}-x)\cdot (\frac{\pi }{2}-x)=-\sin x$ .

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta