Hipi Zhdripi i Matematikës/1275

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:V ë r t e t i m Le të supozojmë se shtesës $\mathrm{\Delta }t$ të parametrit $t$ i korrespondojnë shtesat:

$\mathrm{\Delta }x=x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t),\mathrm{\Delta }y=y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)$

e variablave $x$, $y$, ku $\mathrm{\Delta }x\to 0\wedge \mathrm{\Delta }y\to 0$, kur $\mathrm{\Delta }t\to 0$. Raporti i këtyre shtesave mund të shprehet në këtë mënyrë:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)}{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}=\frac{\frac{y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)}{\mathrm{\Delta }t}}{\frac{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}{\mathrm{\Delta }t}}$

Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, përkatësisht $\mathrm{\Delta }t\to 0$, shprehet:

$y{\text{'}}_x=\lim \mathrm{\Delta }x\to 0\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{y(t+\mathrm{\Delta }t)-y(t)}{\mathrm{\Delta }t}}{\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x(t)}{\mathrm{\Delta }t}}=\frac{y{\text{'}}_t}{x{\text{'}}_t}$

çka vërteton saktësinë e formulës (46)

Stampa:Dygishta S h ë n i m: (1) Derivatet e variablave $x$, $y$ sipas parametrit $t$ rëndom shënohem me $x$ dhe $y$, pra:

$x{\text{'}}_t(t)=\dot{x},y{\text{'}}_t(t)=\dot{y}$.

Stampa:Dygishta (2) Derivati i funksionit të dhënë në formën parametrike (19) shënohet edhe në këtë mënyrë $y{\text{'}}_x=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$

Stampa:Dygishta (3) Derivati i funksionit parametrik (19) shprehet si derivat i funksionit të përbërë kur ekuacioni $x=x(t)$ zgjidhet sipas parametrit $t:t=t(x)$ dhe kjo vlerë zëvendësohet në ekuacionin e dytë: $y=y[t(x)]$, prej nga marrim:

$y{\text{'}}_x=y{\text{'}}_t\cdot t{\text{'}}_x$. (46a)

ku (në bazë të formulës (44)) $t{\text{'}}_x=\frac{1}{x{\text{'}}_t}$. Ky veprim është i mundshëm, nëse ekuacioni $x=x(t)$ mund të zgjidhet sipas $t$ dhe ekziston $t{\text{'}}_x$.

Stampa:Dygishta P.sh., derivati i funksionit parametrik $x=3t+1$, $y=t^2+3t+5$ është: Stampa:Dygishta -Mënyra parë:$y{\text{'}}_x=\frac{y{\text{'}}_t(t)}{x{\text{'}}_t(t)}=\frac{(t^2+3t+5){\text{'}}_t}{(3t+1){\text{'}}_t}=\frac{2t+3}{3};$

Stampa:Dygishta -Mënyra e dytë $y{\text{'}}_x=y{\text{'}}_t\cdot t{\text{'}}_x=(t^2+3t+5{)}^{\prime }\cdot \left(\frac{x-1}{3}\right)=\frac{2t+3}{3}$