Hipi Zhdripi i Matematikës/1274

sepse $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\alpha =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\alpha =0$. Pra, konkludojmë: $y^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)$, çka vërteton pohimin e teoremës.

Stampa:Dygishta S h e n i m: (1) Formula (43) mund të shprehet edhe kështu:

$\left\{f[g(x)]\right\}=f{\text{'}}_u\cdot g{\text{'}}_x\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}y{\text{'}}_x=y{\text{'}}_u\cdot u{\text{'}}_x$. (43a)

Stampa:Dygishta (2) Kur funksioni i përbërë i ka tri hallka: $y=f(u)$, $u=g(v)$ dhe $v=h(x)$, derivati i tij njehsohet me formulën:

$y^{\prime }=f{\text{'}}_u\cdot g{\text{'}}_v\cdot h{\text{'}}_x\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}y{\text{'}}_x=y{\text{'}}_u\cdot u{\text{'}}_v\cdot v{\text{'}}_x$. (43b)

Stampa:Dygishta P.sh. derivatin e funksionit $y=(3x^2-5x+1{)}^3$ e njehsojmë si derivatin e funksionit të përbërë:

$y{\text{'}}_x=y{\text{'}}_u\cdot u{\text{'}}_x=(u^3{)}^{\prime }(3x^2-5x+1{)}^{\prime }=3u^2(6x-5)=3(3x^2-5x+1{)}^2(6x-5)$.

nëse ekziston $f(y)$ dhe $f(y)\ne 0$.

Stampa:V ë r t e t i m Forma implicite e funksionit $y=g(x)$, invers me funksionin $y=f(x)$, shprehet: $x=f(y)$ (kap. I, p. 4.2.). Kur këtë barazi e derivojmë sipas argumentit $x$, duke aplikuar formulat (39) dhe (43), përftojmë:

$1=f{\text{'}}_y(y)\cdot y{\text{'}}_x\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}y{\text{'}}_x=1f{\text{'}}_y(y)$,

çka vërteton pohimin e teoremës.

Stampa:Dygishta P.sh., derivati i funksionit $y=g(x)=\sqrt[3]{x+1}$, invers me funksionin $y=f(x)=x^3-1$, është:

$y{\text{'}}_x=\frac{1}{f{\text{'}}_y(y)}=\frac{1}{(y^3-1){\text{'}}_y}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1{)}^2}}.$

3.4. DERIVATI I FUNKSIONIT TË DHËNË NË FORMËN PARAMETRIKE

Stampa:Dygishta Le të jetë dhënë funksioni në formën parametrike

$x=x(t),y=y(t),\mathrm{k}\mathrm{u}{t}_0<t<t_1$. (19)