Hipi Zhdripi i Matematikës/1272

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta S h e n i m: (1) Formula (41) për derivatin e prodhimit të dy funksioneve mund të zgjerohet në derivatin e prodhimit të tre e më tepër funksioneve, përkatësisht:

$\begin{array}{cc}(uvw{)}^{\prime }& =[(uv)w{]}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }w+(uv)w^{\prime }=\\ & =(u^{\prime }v+u{v}^{\prime })w+uv{w}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime },\end{array}$

çka do të thotë se

$(uvw{)}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$ . (41 a)

Stampa:Dygishta (2) Kur në formulën (41) njëri faktor i prodhimit është madhësi konstante, b.f. $v(x)=c(=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})$, ajo shprehet:

$(cu{)}^{\prime }=c{u}^{\prime },c=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ (41 b)

pra, konkludojmë: faktori konstant mund të nxirret jashtë shenjës së derivatit.

Stampa:V ë r t e t i m Le të marrim funksionin $y=f(x)$ që është shprehur si herësi i dy funksioneve: $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$. Shtesa e këtij funksioni është

Stampa:Dygishta $\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }y& =\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)}{v(x+\mathrm{\Delta }x)}-\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)-u(x)v(x+\mathrm{\Delta }x)}{v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)}=\\ & =\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\mathrm{\Delta }x)}{v(x+x)v(x)}=\\ & =\frac{[u(x+\mathrm{\Delta }x)u(x)]\cdot v(x)-u(x)\cdot [v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)]}{v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)}\\ & =\frac{\mathrm{\Delta }uv(x)-u(x)\mathrm{\Delta }v}{v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)},\end{array}$

kurse raporti i kësaj shtese me shtesën e argumentit:

Stampa:Dygishta $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\frac{\mathrm{\Delta }uv(x)-u(x-\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }v}{v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)}}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}v(x)-u(x)\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}}{v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)}$

Stampa:Dygishta Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, shprehet:

Stampa:Dygishta $\begin{array}{cc}f(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}v(x)-u(x)\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}}{v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)}\\ & =\frac{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}v(x)-u(x)\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}]}{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[v(x+\mathrm{\Delta }x)v(x)]}=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}.\end{array}$