Hipi Zhdripi i Matematikës/1269

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:S h e m b u l l i Të caktohet, sipas përkufizimit, derivati i funksionit $y=3x^2-5x+1$ në pikën : (a) çfarëdo $x$; (b) $x=2$.

Stampa:Z g j i d h j e (a) Shtesës së argumentit $\mathrm{\Delta }x$ i korrespondon shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y=(6x-5)\mathrm{\Delta }x+3(\mathrm{\Delta }x{)}^2$, ku raporti i tyre është $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=6x-5+3\mathrm{\Delta }x$, ndërsa limiti i këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$:

Stampa:Dygishta $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(6x-5+3\mathrm{\Delta }x)=6x-5,\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{a}{y}^{\prime }=6x-5$.

Stampa:Dygishta (b) Derivati në pikën $x=2$ është $f^{\prime }(2)=7$.

Stampa:S h e m b u l l i Të gjendet shpejtësia e lëvizjes në rënie të lirë në çastin: (a) $t$; (b) $t=5s$.

Stampa:Z g j i d h j e Në rënien e lirë rruga shprehet me formulën $s=\frac{1}{2}g{t}^2$, $g$ - nxitimi i gravitacionit. Prandaj kemi:

$\begin{array}{cc}v=s^{\prime }(t)& =\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{g(t+\mathrm{\Delta }t{)}^2-g{t}^2}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }(gt+\frac{1}{2}g\mathrm{\Delta }t)=gt\mathrm{m}/\mathrm{s}.\\ \end{array}$

Stampa:Dygishta (b) $v_{t=5}=5.9,81=49,5m/s$.

Stampa:S h e m b u l l i Në pikën $x=0$ të caktohet tangjentja e funksionit:

(a) $y=\sqrt[5]{x^4}$; (b) $y=\sqrt[3]{x}$.

Stampa:Z g j i d h j e (a) Ngase:

$f{\text{'}}_{-}(0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to -0}{\lim }\frac{\sqrt[5]{(\mathrm{\Delta }x{)}^4}}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to -0}{\lim }\frac{1}{\sqrt[5]{\mathrm{\Delta }x}}=-\mathrm{\infty }$

dhe

$f{\text{'}}_{+}(0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to +0}{\lim }\frac{1}{\sqrt[5]{\mathrm{\Delta }x}}=+\mathrm{\infty }$,

konkludojmë se pika $O(0,0)$ është një pikë e kthimit me dy tangjente të përputhura vertikale të funksionit $y=\sqrt[5]{x^4}$.

Stampa:Dygishta (b) Pasi

$f^{\prime }(0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{\mathrm{\Delta }x}}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}}=\mathrm{\infty }$,

konkludojmë se pika $O(0,0)$ është një pikë e infleksionit me tangjenten vertikale të funksionit $v=\sqrt[3]{x}$.

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta