Hipi Zhdripi i Matematikës/1264

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës: $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$, $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=g(a)$ dhe në bazë të formulave (7b) kemi:

$\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to a}{\lim }g(x)=f(a)\pm g(a)$

çka do të thotë se vërtet shuma dhe ndryshimi i dy funksioneve të vazhdueshme në pikën $a$ është funksion i vazhdueshëm në këtë pikë. Në mënyrë analoge vërtetohet edhe vazhdueshmëria e prodhimit dhe e herësit.

Stampa:V ë r t e t i m Për funksionet elementare themelore vlen formula (13a):

$(\mathrm{\forall }x\in X)\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(\underset{x\to a}{\lim }x)$

e cila shpreh faktin se limiti i cilitdo funksion elementar themelor në cilëndo pikë nga zona e përcaktimit të tyre është i barabartë me vlerën e atij funksioni në atë pikë, prandaj (në bazë të përkufizimit 2.7.1.) konkludojmë se pohimi i kësaj teoreme është i saktë.

Stampa:V ë r t e t i m Marrim se $f(a)<0<f(b)$, E përgjysmojmë segmentin $[a,b]$. Le të jetë pika $d$ mesi i $[a,b]$. Nëse $f(d)=0$, themi se teorema u vërtetua, ndërkaq nëse $f(d)\ne 0$, atëherë për $f(d)>0$ e marrim segmentin $[a,d]$, në rast të kundërt segmentin $[d,b]$. Le ta shënojmë segmentin përkatës me $\mathrm{\Delta }$. Në këtë segment plotësohen të gjitha konditat e teoremës. E përgjysmojmë edhe këtë segment ku marrim pikën $d_1$. Për $f(d_1)=0$, themi se teorema u vërtetua, ndërkaq nëse $f(d_1)\ne 0$, marrim përsëri atë gjysmësegment $\mathrm{\Delta }$, në të cilin plotësohen konditat e teoremës. Ky proces i përgjysmimit të segmentit dhe e zgjedhjes së gjysmësegmentit që plotëson konditat e teoremës së Bolzanos mund të vazhdohet deri në pafund dhe kështu përftohet vargu i numrave $d,d_1,d_2,\dots ,d_n,\dots$ dhe vargu monoton zvogëlues i segmenteve $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n,\dots$ Për rastin kur $f(d_n)\ne 0(n=1,2,\dots )$ themi se në segmentin ${\mathrm{\Delta }}_n$ plotësohen konditat e teoremës së Bolzanc. Le të jetë $c$ një pikë e segmentit ${\mathrm{\Delta }}_n$, kurse $(c-\delta ,c+\delta )$ rrethina e pikës $c$ e cila e përmban atë segment. Meqenëse në rrethinën $(c-\delta ,c+\delta )$ e pikës $c$, sado i vogël qoftë numri pozitiv $\delta >0$, funksioni $y=f(x)$ merrë vlera me parashenja të ndryshme, kurse ky funksion është i vazhdueshëm në pikën $c$, andaj del se në këtë pikë vlera e funksionit është zero $(f(c)=0)$, çka edhe donim të vërtetonim.