Hipi Zhdripi i Matematikës/1261

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Krahas vazhdueshmërisë së funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$, flitet edhe për vazhdueshmërinë e njëanshme të tij në këtë pikë.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.2. - Funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm nga majta në pikën $a$, nëse $\underset{x\to a^{-0}}{\lim }f(x)=f(a)$, ndërkaq quhet i vazhdueshëm nga djathta në pikën $a$, nëse $\underset{x\to a^{+0}}{\lim }f(x)=f(a)$.[1]

Stampa:V ë r t e t i m Hipotezat e teoremës janë të nevojshme, pasi supozimi se $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ implikon vazhdueshmërinë e funksionit $f(x)$ nga e majta dhe nga e djathta në pikën $a$.

Stampa:Dygishta Hipotezat e teoremës janë të mjaftueshme, sepse ato implikojnë plotësimin e konditave 1 ° - 3 ° të përmendura më lartë.

Stampa:Dygishta Vazhdueshmëria e funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ mund të përkufizohet edhe nëpërmjet të shtesës së funksionit dhe shtesës së argumentit në këtë pikë.

Stampa:Dygishta Me këtë qëllim e marrim funksionin $y=f(x)$, zona e përcaktimit të cilit është $X$. Le të jetë $a$ një vlerë e argumentit $x$ nga zona e përcaktimit. Shënojmë me $x$ një vlerë tjetër (të re) të argumentit nga rrethina e pikës $a$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.3. - Shtesa e argumentit $x$ në pikën $a$ quhet ndryshimi $x-a$ dhe shënohet $\mathrm{\Delta }x$, pra: $\mathrm{\Delta }x=x-a$.[2]

Stampa:Dygishta Nga relacioni i fundit del se $x=a+\mathrm{\Delta }x$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.4. - Shtesa e funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ quhet ndryshimi $f(x)-f(a)$ dhe shënohet $\mathrm{\Delta }y$[3], pra:

$\mathrm{\Delta }y=f(x)-f(a)\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{\Delta }y=f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)$.

Stampa:Dygishta Nga relacioni i fundit shihet se shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y$ varet nga $\mathrm{\Delta }x$, e jo nga argumenti $x$, d.m.th. shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y$ është funksion i shtesës së argumentit $\mathrm{\Delta }x$.

Stampa:Dygishta Prej përkufizimit 2.7.1. (e vazhdueshmërisë së funksionit $f(x)$ në pikën $a$) rrjedh se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, ekziston numri përkatës pozitiv $\delta$ i tillë që

$|f(x)-f(a)|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}|x-a|<\delta$.

Kur në këto relacione zëvendësohen : $f(x)-f(a)=\mathrm{\Delta }y$ dhe $x-a=\mathrm{\Delta }x$ del: $|\mathrm{\Delta }y|<\epsilon$ kur $|\mathrm{\Delta }x|<\delta$. Në bazë të këtyre të dhënave konkludojmë: Kur funksioni $y=f(x)$ është i vazhdueshëm në pikën $a$, shtesës së vogël të argumentit i përgjigjet shtesa e vogël e funksionit, ose më saktësisht, shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y$ është pambarimisht e vogël, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Pra, themi:

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.5. - Funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm në pikën $a$, nëse shtesa e tij $\mathrm{\Delta }y$ në pikën $a$ është funksion $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$.[4]

Stampa:Dygishta Krahas vazhdueshmërisë së funksionit $y=f(x)$ në pikën $a$ flitet edhe për vazhdueshmërinë e tij në bashkësitë numerike.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.6. - Funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm në intervalin $(a,b)$ (segmentin $[a,b]$), në goftë se ai është i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali (segmenti).[5]

Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet se funksioni $y=\cos x$ është i vazhdueshëm në bashkësinë e numrave realë $ℝ$.