Hipi Zhdripi i Matematikës/1256

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Në bazë të këtyre relacioneve dhe konditës $f(x)⩽g(x)⩽h(x)$, kur $x\in (a-\delta ,a+\delta )$, rezulton se

$b-\epsilon <g(x)<b+\epsilon \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}|g(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$.

Kjo do të thotë se ekziston vlera kufitare e funksionit $g(x)$, kur $x$ tenton në $a$ dhe se $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=b$.

Stampa:V ë r t e t i m Nga hipoteza e teoremës rrjedh se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, ekziston numri pozitiv korrespondues $\delta$ i tillë që

$|f(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$.

Nga ky relacion del:

$|f(x)|<|b|+\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$,

çka do të thotë (sipas përkufizimit 2.5.2.) se funksioni $y=f(x)$ është i kufizuar, kur $x\to a$.

Stampa:V ë r t e t i m Nga hipoteza (supozimi) $f(x)=b+\alpha$, ku $\alpha \to 0$ rrjedh se në rrethinën e numrit $a:|f(x)-b|=|\alpha |$. Mirëpo, pasi për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, të gjitha vlerat (përveç eventualisht një numrit të fundëm të vlerave) e madhësisë pambarimisht e vogël $\alpha$ e kënaqin jobarazinë $|\alpha |<\epsilon$, prandaj

$|f(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$.

Stampa:Dygishta E anasjellta: Nga hipoteza $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$ rrjedh se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, në rrethinën $(a-\delta ,a+\delta )$ e numrit $a$ vlen relacioni $|f(x)-b|<\epsilon$. Kur shënojmë $y-b=\alpha$, përftohet $|\alpha |<\epsilon$, çka do të thotë se $\alpha$ është madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.6.5. - Funksioni $y=f(x)$ quhet funksion pambarimisht i vogël (ose infinitezimal) në rrethinën e numrit $a$, nëse $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$.[1]

Stampa:Dygishta Dy funksione pambarimisht të vogla krahasohen në të njëjtën mënyrë, siç krahasohen edhe madhësitë infinitezimale (p. 1.5.).

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\cos x}{x}$

Stampa:Z g j i d h j e E pjesëtojmë jobarazinë e dyfishtë $-1⩽\cos x⩽1$ me $x(>0)$

$-\frac{1}{x}⩽\frac{\cos x}{x}⩽\frac{1}{x}$ nga marrim: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{1}{x})⩽\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\cos x}{x}⩽\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}$.

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta