Hipi Zhdripi i Matematikës/1254

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.6.2. - Numri $b$ quhet limit i funksionit $y=f(x)$, kur $x\to +\mathrm{\infty }$ (ose $x\to -\mathrm{\infty }$), nëse për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, ekziston numri pozitiv korrespondues $A(=A(\epsilon ))$ i tillë që

$(\mathrm{\forall }|x|>A)|f(x)-b|<\epsilon$. (29)

[1]

Stampa:Dygishta Ky fakt simbolikisht shënohet:

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=b\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}f(x)\to b,\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}x\to \pm \mathrm{\infty }$. (29a)

Stampa:S h e m b u l l i Të provohet se $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x-5}{2x}=\frac{3}{2}$.

Stampa:Z g j i d h j e Nga jobarazia

$|\frac{3x-5}{2x}-\frac{3}{2}|<\epsilon \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\left|\frac{-5}{2x}\right|<\epsilon \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}|x|>\frac{5}{2\epsilon }=A(\epsilon )$,

prandaj $(\mathrm{\forall }|x|>\frac{5}{2\epsilon })|\frac{3x-5}{2x}-\frac{3}{2}|<\epsilon \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x-5}{2x}=\frac{3}{2}$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.6.3. - Funksioni $y=f(x)$ tenton në inftnit, kur $x\to a$, nëse për çdo numër pozitiv $M>0$, sado i madh qoftë $M$, ekziston numri pozitiv korrespondues $\delta (=\delta (M))$ i tillë që

$|f(x)|>M\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-al<\delta$. (30)

[2]

Stampa:Dygishta Ky fakt simbolikisht shënohet:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}f(x)\to \mathrm{\infty }\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}x\to a$

. (30a)

Stampa:Dygishta Nëse funksioni $y=f(x)$ tenton në infinit, kur $x\to a$, me këtë rast i merr vetëm vlerat pozitive, respektivisht vetëm vlerat negative, shënohet

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$, përkatësisht $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Stampa:S h e m b u l l i Të provohet se $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{4}{{(x-3)}^2}=+\mathrm{\infty }$.

Stampa:Z g j i d h j e Nga jobarazia

$\left|\frac{4}{{(x-3)}^2}\right|>M\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}|x-3|<\frac{2}{\sqrt{M}}$,

çka do të thotë se ekziston numri $\delta (M)=\frac{2}{\sqrt{M}}$ i tillë që

$\frac{4}{{(x-3)}^2}>M$ kur $0<|x-3|<\frac{2}{\sqrt{M}}$, prandaj $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{4}{{(x-3)}^2}=+\mathrm{\infty }$.

Stampa:Dygishta Limiti i funksionit mund të përkufizohet edhe nëpërmjet të limitit të vargut të pafundëm numerik. Për këtë qëllim marrim se vargut të vlerave të argumentit $x$

$x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots ,\mathrm{k}\mathrm{u}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a\wedge x_n\ne a(n=1,2,\dots )$