Përcaktimi praktik i rangut të matricës

Në p. 7.1. kemi pa se, në rastin e përgjithshëm, çfarëdo një matrice $A$ i përkasin një numër i konsiderueshëm submatricash katrore, prandaj përcaktimi i rangut të matricës nëpërmjet të submatricave katrore korresponduese është mjaft i gjatë dhe jopraktik. Të shohim tani këtu një mënyrë praktike të përcaktimit të rangut të matricës.

Forma kanonike e matricës

Matrica e tipit $m\times n$ të formës

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& \cdots & 0& \\ 0& 1& 0& \cdots & 0& \\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& & & \ddots & & \\ 0& 0& 0& \cdots & 1& \\ & 0& & & & 0\end{array}\right]$

quhet forma kanonike e matricës. Do të shohim se me anën e transformimeve elementare çdo matricë $A$ mund të transformohet në formën kanonike (43).

Transformimi i matricës në formë kanonike

Me këtë qëllim le të shohim matricën $A=[a_{ik}{]}_{m.n}(\ne 0)$. Supozojmë se $a_{11}\ne 0$ (në rast se ky kusht nuk plotësohet, $a_{11}=0$, atëherë permutohet rreshti (shtylla) i parë me ndonjë rresht (shtyllë) tjetër, ku elementi i parë nuk është i barabartë me zero). Kur rreshtin e parë të matricës $A$ e shumëzojmë me numrin $\frac{1}{a_{11}}$ përftohet matrica ekuivalente:

$\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{a_{12}}{a_{11}}& \cdots & \frac{a_{1n}}{a_{11}}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

Shtyllën e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat:

$-\frac{a_{12}}{a_{11}},-\frac{a_{13}}{a_{11}},\cdots ,-\frac{a_{1n}}{a_{11}}$

dhe pastaj me radhë ia shtojmë shtyllës së dytë, të tretë, $\cdots$, shtyllës $n$. Kështu përftohet matrica ekuivalente e formës:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& b_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2b}\\ ⋮& & & & \\ a_{m1}& b_{m2}& b_{m3}& & b_{mn}\end{array}\right]$

Rreshtin e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat $-a_{21},-a_{31},\dots -a_{m1}$ dhe me radhë ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, $\cdots$ , rreshtit $m$. Me këtë rast përftohet matrica ekuivalente e formës:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& b_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& & & & \\ 0& b_{m2}& b_{m3}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right]$

Supozojmë se $b_{22}\ne 0$ dhe këtë algoritëm e përsërisim në matricën

$\left[\begin{array}{cccc}{b}_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2n}\\ b_{32}& b_{33}& \cdots & b_{3n}\\ ⋮& & & \\ b_{m2}& b_{m3}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right]$

me ç,rast do të përftohet matrica ekuivalente e formës:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& c_{33}& \cdots & c_{3n}\\ ⋮& & & & \\ 0& 0& c_{m3}& \cdots & c_{mn}\end{array}\right]$

Këtë veprim e vazhdojmë (përsërisim) derisa matrica e dhënë $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ nuk transformohet në formën kanonike (43).

Rangu i matricës kanonike (43) është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të saj.

Shembuj

Për shembull:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 4& 1& 2\\ 2& 5& 8& 2& 3\\ 1& -2& 4& 1& 0\\ 3& 1& 12& 3& 2\end{array}\right]$	(Shumëzojmë shtyllën e parë me radhë me $-4,-4,-1,-2$ dhe ia shtojmë shtyllës së dytë, së tretë, së katërt, së pestë)
$\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 2& -3& 0& 0& -1\\ 1& -6& 0& 0& -2\\ 3& -11& 0& 0& -4\end{array}\right]$	(Shumëzojmë rreshtin e parë me radhë me $-2,-1,-3$ dhe ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, të katërt)
$\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& -3& 0& 0& -1\\ 0& -6& 0& 0& -2\\ 0& -11& 0& 0& -4\end{array}\right]$	(Permutojmë shtyllën e pestë me të tretën dhe pastaj me të dytën)
$\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& -3& 0& 0\\ 0& -2& -6& 0& 0\\ 0& -4& -11& 0& 0\end{array}\right]$	(Shumëzojmë shtyllën e dytë dhe të tretë me $-1$)
$\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0& 0\\ 0& 2& 6& 0& 0\\ 0& 4& 11& 0& 0\end{array}\right]$	(Shumëzojmë shtyllën e dytë me $-3$ dhe ia shtojmë shtyllës së tretë)
$\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 4& -1& 0& 0\end{array}\right]$	(Shumëzojmë rreshtin e dytë me $-2$ dhe $-4$ dhe ia shtojmë rreshtit të tretë, përkatësisht të katërt)
$\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0\end{array}\right]$	(Shumëzojmë rreshtin e katërt me -1 dhe permutojmë me rreshtin e tretë)
$\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Pra, përftuam matricën në formën kanonike, nga del se $r(A)=3$.