Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura

Stampa:StyllaMatricatdhepërcaktorët Forma e përgjithshme e sistemit të $n$ ekuacioneve (barazimeve) lineare me $n$ të panjohura është:

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{matrix}

ku njëlloj, sikurse për sistemin (32), përkufizohet përcaktori kryesor $D$ , përcaktorët karakteristikë $D_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ dhe zgjidhja $(t_{1}, t_{2}, \dots, t n)$ e këtij sistemi. Gjithashtu, në mënyrë analoge, nxirren formulat e Cramerit respektivisht i shumëzojmë me radhë ekuacionet e këtij sistemi me kofaktorët $A_{i k}$ të elementeve $a_{i k}$ , ku $i = 1, 2, \dots, n$ he pastaj ato ekuacione i mbledhim njëherit duke grupuar kufizat sipas të panjohurave $x_{i}$ ;

(\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} A_{i k}) x_{1} + (\sum_{i = 1}^{n} a_{i 2} A_{i k}) x_{2} + \dots + (\sum_{i = 1}^{n} a_{i k} A_{i k}) x_{k} + \dots

+ (\sum_{i = 1}^{n} a_{i n} A_{i k}) x_{n} = (\sum_{i = 1}^{n} b_{i} A_{i k}) .

Tani duke pasur parasysh formulat:

(a) $\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} A_{i k} = 0, \forall j \neq k$ ;

(b) $\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} A_{i k} = D, \forall j = k$ ;

(c) $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} A_{i k} = D_{k}, k = 1, 2, \dots, n$

barazimi i fundit merr këtë formë:

(\sum_{i = 1}^{n}, a_{i k} A_{i k}) x_{k} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} A_{i k}

respektivisht

D x_{3} k = D_{k}, k = 1, 2, \dots, n

Kur supozojmë se $D \neq 0$ , përftohen formulat e Cramerit:

x_{3} k = \frac{D_{k}}{D}, k = 1, 2, \dots, n

(...35)

Nëse në sistemin (34) kufizat e lira janë të barabarta me zero ( $b_{i} = 0, \forall i = 1, 2, \dots, n$ ), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve homogiene. Kur $D \neq 0$ , ky sistem ka vetëm zgjidhjen triviale:

x_{31} = 0, x_{2} = 0, \dots, x_{n} = 0 .

Shembuj

Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

\begin{matrix} x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} = 5 \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 3 x_{4} = 1 \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} = 1 \\ 4 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} + x_{4} = - 5 \end{matrix}

Zgjidhje Përcaktorët e këtij sistemi janë:

D = - 20, D_{1} = 40, D_{2} = - 40, D_{3} = 60, D_{4} = - 60

.

Me aplikimin e formulave të Cramerit përftohet : $x_{1} = - 2, x_{2} = 2, x_{3} = - 3$ dhe $x_{4} = 3$ , prandaj katërshi i renditur ( $- 2, 2; - 3; 3$ ) është zgjidhja e sistemit të dhënë.

Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura

Shembuj

Menuja e navigimit

Kërko