Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura

Stampa:StyllaMatricatdhepërcaktorët Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_l+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}$ (...32)

ku numrat $a_{ik}(i,k=1,2,3)$ janë koeficientet, ndërsa numrat $b_i(i=1,2,3)$ janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori

$D=\det [a_{ik}{]}_1^3$

quhet përcaktor kryesor, ndërsa

$D_1=\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}\\ b_2& a_{22}& a_{23}\\ b_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|,D2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& b_1& a_{13}\\ a_{21}& b_2& a_{23}\\ a_{31}& b_3& a_{33}\end{array}\right|,D3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& b_3\end{array}\right|$

quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur $(t_1,t_2,t_3)$quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat $x_1,x_2,x_3$ zëvendësohen me $t_1,t_2,t_3$. Dy sisteme ekuacionesh $S_1,S_2$ me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta.

Formula e Cramerit

Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë:

1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{11},A_{21},A_{31}$ dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:

$\begin{array}{c}(a_{11}{A}_{11}+a_{21}{A}_{21}+a_{31}{A}_{31})x_1+(a_{12}{A}_{11}+a_{22}{A}_{21}+a_{32}{A}_{31})x_2+\\ +(a_{13}{A}_{11}+a_{23}{A}_{21}+a_{33}{A}_{31})x_3=b_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+b_3{A}_{31}.\end{array}$

Meqenëse:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{A}_{11}+a_{21}{A}_{21}+a_{31}{A}_{31}=D\\ a_{12}{A}_{11}+a_{22}{A}_{21}+a_{32}{A}_{31}=0\\ a_{13}{A}_{11}+a_{23}{A}_{21}+a_{33}{A}_{31}=0\\ b_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+b_3{A}_{31}=D_1\end{array}$

prandaj merret

$D{x}_1=D_1$;

2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{12},A_{22},A_{32}$ dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:

$\begin{array}{c}(a_{11}{A}_{12}+a_{21}{A}_{22}+a_{31}{A}_{32})x_1+(a_{12}{A}_{12}+a_{22}{A}_{22}+a_{32}{A}_{32})x_2\\ +(a_{13}{A}_{12}+a_{23}{A}_{22}+a_{33}{A}_{32})x_3=b_1{A}_{12}+b_2{A}_{22}+b_3{A}_{32}.\end{array}$

Në këtë barazim koeficientet pranë $x_1$ dhe $x_3$ janë zero, koeficienti i $x_2$ është $D$, kurse kufiza e lirë është $D_2$,prandaj

$D{x}_2=D_2$;

3°. Në fund, ekuacionet e sistemit (32) i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{13},A_{23},A_{33}$ dhe pastaj i mbledhim:

$\begin{array}{c}(a_{11}{A}_{13}+a_{21}{A}_{23}+a_{31}{A}_{33})x_1+(a_{12}{A}_{13}+a_{22}{A}_{23}+a_{32}{A}_{33})x_2+\\ +(a_{1}3A_{13}+a_{23}{A}_{23}+a_{33}A33)x_3=b_1{A}_{13}+b_2{A}_{23}+b_3{A}_{33}.\end{array}$

Këtu koeficientet e $x_1$ dhe $x_2$ janë zero, koeficienti i $x_3$ është $D$, kurse kufiza e lirë është e barabartë me $D_3$,prandaj kemi:

$D{x}_3=D_3$.

Kështu: nëse $D\ne 0$, zgjidhja e sistemit (32) caktohet me formulat:

$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},x_3=\frac{D_3}{D},$ (...33)

që quhen formula të Cramerit.

Shembuj

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

$\begin{array}{c}2x_1+3x_2+5x_3=2\\ x_1+2x2-x_3=5\\ 3x_1-x_2+x_3=4\end{array}$

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

$\begin{array}{cc}D=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 1& 2& -1\\ 3& -1& 1\end{array}\right|=-4S,& D_1=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 5& 2& -1\\ 4& -1& 1\end{array}\right|=-90,\\ D_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 5\\ 1& 5& -1\\ 3& 4& 1\end{array}\right|=-45,& D_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 1& 2& 5\\ 3& -1& 4\end{array}\right|=45.\end{array}$

Me zbatimin e formulave (33) marrim:

$x_1=2,x_2=1,x_3=-1$.

---

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

$\begin{array}{c}5a{x}_1-4b{x}_2+2c{x}_3=3abc\\ 3a{x}_1-6b{x}_2+5c{x}_3=2abc\\ 2a{x}_1-3b{x}_2+c{x}_3=0\end{array}$

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

$D=23abc;D_1=23a{b}^2{c}^2;D_2=23a^{2}b{c}^2;D_3=23a^2{b}^{2}c.$

Supozojmë se $a,b,c\ne 0$ dhe zbatojmë formulat e Cramerit:

$x_1=bc,x_2=ac,x_3=ab,$

pra, treshi i renditur $(bc,ac,ab)$ paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna.