Fuqia e matricave katrore

Stampa:StyllaMatricatdhepërcaktorët Kur matrica katrore $A=[a_{ik}{]}_1^n$ shumëzohet me vetveten, përftohet katrori i saj që shënohet $A^2$. Ndërkaq fuqia $m$ e matricës katrore $A$ përkufizohet me relacionin:

$A^m\stackrel{p\ddot{e}rk}{=}\{\begin{array}{cc}\underset{m-her\ddot{e}}{\underbrace{AA...A}}& kur1\ne m\in N\\ A,& kurm=1\\ E,& kurm=0\end{array}$.

Nga ky përkufizim rriedhin këto rregulla për fuqizimin e matricave:

(c₁) $A^m{A}^n=A^{m+n}$ ;

(c₂) $(A^m{)}^n=A^{mn}$ ,

(c₃) $(AB{)}^m=A^m{B}^m$ , nëse matricat $A$, $B$ janë komutative.

Polinomi matricial

Shprehja e formës:

$p(X)=a_0{X}^n+a_1{X}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}E$, (...20)

ku $X$ dhe $E$ janë matrica katrore dhe matrica e njësishme të rendit të njëjtë, kurse $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ numra çfarëdo, quhet polinom matricial.

Ekuacioni matricial

Ekuacioni i formës:

$a_0{X}^n+a_1{X}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}E=0$ (...21)

quhet ekuacion matricial.

Rrënja e polinomit matricial dhe polinomi anulues

Është e qartë se polinomi matricial $p(X)$ është matricë. Madje, në përgjithësi, polinomi matricial mund të përftohet kur në polinomin e zakonshëm

$p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-l}x+a_n$

zëvendësohet në vend të variablit $x$ matrica $A$ dhe në vend të kufizës së lirë $a_n$ matrica skalare $a_{n}E$ e rendit të njëjtë me matricën $A$. Nëse me atërast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse $p(A)=0$, matrica $A$ quhet rrënja e polinomit $p(x)$, kurse polinomi $p(x)$ quhet polinom anulues për matricën $A$.

Shembuj

Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë.

V ë r t e t i m: Le të jenë $S=[d{\delta }_{ik}{]}_1^n$ dhe $A=[a_{ik}{]}_1^n$ çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit $n$. Meqë është:

(a) $S\cdot A=(dE).A=d(E\cdot A)=dA$ ; dhe

(b) $A\cdot S=A.(dE)=d(A\cdot E)=dA$ ,

prandaj konkludojmë se vlen relacioni $S.A=A\cdot S$.

---

Të vërtetohet barazia

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{a}^n& n{a}^{n-1}\\ 0& a^n\end{array}\right],kun\in N$ .

V ë r t e t i m: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor,

Për $n=2$ kemi:

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}^2& 2a\\ 0& a^2\end{array}\right]$.

Tani supozojmë se barazia është e saktë për $n=m-1(⩾-2)$:

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^{m-1}=\left[\begin{array}{cc}{a}^{m-1}& (m-1)a^{m-2}\\ 0& a^{m-1}\end{array}\right]$ .

Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën $\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]$ del:

${\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]}^m=\left[\begin{array}{cc}{a}^{m-1}& (m-1)a^{m-2}\\ 0& a^{m-1}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}^m& m{a}^{m-1}\\ 0& a^m\end{array}\right]$.

çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë $\mathrm{\forall }n\in N$.

---

Të zgjidhet ekuacioni matricial

$2X+5E=3A$,

ku $E$ është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse

A = $\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 0& 1& -2\\ 6& 4& -1\end{array}\right]$ .

Z g j i d h j e Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara:

$2X=3A-5E=3\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 0& 1& -2\\ 6& 4& -1\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{ccc}9& 6& 0\\ 0& 3& -6\\ 18& 12& -3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-5& 0& 0\\ 0& -5& 0\\ 0& 0& -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& 6& 0\\ 0& -2& -6\\ 18& 12& -8\end{array}\right]$

respektivisht

$X=\left[\begin{array}{ccc}9& 3& 0\\ 0& -1& -3\\ 9& 6& -4\end{array}\right]$

Transponimi i matricës