Shumëzimi i pasqyrimeve

Stampa:StyllaAlgjebraepërgjithëshme Le të jenë Stampa:Mate dy pasqyrime. Me pasqyrimin Stampa:Mate secilit element Stampa:Mate i shoqërohet pikërisht një element Stampa:Mate nga bashkësia Stampa:Mate ,

Skeda:Shumëzimi i pasqyrimeve.PNG Fig. 1.14.

kurse me pasgyrimin Stampa:Mate këtij elementi i shoqërohet pikërisht një element Stampa:Mate nga bashkësia Stampa:Mate . Nëse, një pas një kryhen pasqyrimet Stampa:Mate dhe Stampa:Mate , atëherë në të vërtetë secilit element Stampa:Mate i shoqërohet pikërisht një element Stampa:Mate nga bashkësia Stampa:Mate (fig. 1.16a, b). Ky pasqyrim i bashkësisë Stampa:Mate në Stampa:Mate quhet shumëzim (kompozim, superpozicion) i pasqyrimeve Stampa:Mate dhe Stampa:Mate i cili simbolikisht shënohet me Stampa:Mate ose Stampa:Mate ose Stampa:Mate (lexo : shumëzimi i pasqyrimeve f dhe g). Pra, shumëzimi i funksioneve Stampa:Mate përkufizohet me barazinë :

Skeda:Mbledhja dhe shumëzimi i pasqyrimeve.PNG Fig. 1.16.

Stampa:Mate (...39)

Stampa:Dygishta Siç shihet në shumëzimin Stampa:Mate renditja e të shkruarit dhe zbatimit të funksioneve Stampa:Mate ka rëndësi, sepse rëndom prodhimi Stampa:Mate nuk ekziston, nuk ka kuptim.

Përkufizimi i shumëzimit

Të caktohet shumëzimi i pasqyrimeve Stampa:Mate dhe Stampa:Mate , ku Stampa:Mate , nëse është : $f=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ a& b& c& d\end{array}\right),g=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ \alpha & \gamma & \delta & \beta \end{array}\right)$

Zgjidhje : Prodhimi $g\circ f:A\to C$ është :

$(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(b)=\gamma$ ,

$(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(c)=\delta$ ,

$(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(a)=\alpha$ ,

$(g\circ f)(4)=g(f(4))=g(d)=\beta$ ,

pra :

$g\circ f=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ \alpha & \gamma & \delta & \beta \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ a& b& c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ \alpha & \gamma & \delta & \beta \end{array}\right)$

Këtu shumëzimi Stampa:Mate nuk është i përkufizuar .

Veprimi jokomutative

Të caktohen shumëzimet Stampa:Mate , ku Stampa:Mate janë dy pasqyrime të dhëna me formulat :

$f(x)=x^2+2x-1$ dhe $g(x)=3x+2$ .

Zgjidhje :

(1) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+2x-1)=3(x2+2x-1)+2=3x2+6x-1$ ;

(2) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(3x+2)=(3x+2{)}^2+2(3x+2)-1=9x^2+18x+7$  ;

(3) Meqë $g^{-1}(x)=\frac{(x-2)}{3},(g^{-1}\circ g)(x)=g^{-1}(3x+2)=x$

Siç shihet pra, edhe kur ekzistojnë dy shumëzime Stampa:Mate dhe Stampa:Mate të funksioneve Stampa:Mate vlera e tyre varet nga renditja e pasqyrimeve . Prandaj, konkludojmë se shumëzimi i pasqyrimeve Stampa:Mate është veprim jokomutativ :

Stampa:Mate ose Stampa:Mate . (...40)

Vetit

Nga relacioni përkufizues (39) dhe fig. 1.16. del se për shumëzimin e pasqyrimeve Stampa:Mate vlen:

Stampa:Mate . (...41)

sepse : Stampa:Mate .

Pasqyrimi identik

Nëse Stampa:Mate është pasqyrim bijektiv ndërmjet bashkësive Stampa:Mate dhe Stampa:Mate , shumëzimi i pasqyrimeve Stampa:Mate paraqet pasqyrimin identik të bashkësisë Stampa:Mate . Vërtet, ngase:

Stampa:Mate dhe Stampa:Mate ,

dhe

Stampa:Mate .(...42)

Teorema për n pasqyrime

Le të jenë Stampa:Mate , Stampa:Mate dhe Stampa:Mate tri pasqyrime. Shumëzimi i pasqyrimeve Stampa:Mate dhe Stampa:Mate është veprim asociativ :

Stampa:Mate (...43)

Vërtetim : Transformojmë anën e djathtë të formulës (43) :

Stampa:Mate

Relacioni i fundit vërteton pohimin e teoremës.