Hipi Zhdripi i Matematikës/1239

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Këtu, në kllapa, kemi shumën e progresionit gjeometrik $(\mathrm{k}\mathrm{u}{a}_1=1,q=\frac{1}{2})$, prandaj

$a_n<1+\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}=1+2[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n]=3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

prej nga shohim se $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})a_n<3$, çka do të thotë se vargu i dhënë është i kufizuar.

Stampa:Dygishta Konkludojmë:Vargu $(a_n)$, kufiza e përgjithshme e të cilit shprehet me formulën $a_n={(1+\frac{1}{n})}^n$ , është konvergjent. Limiti i tij shënohet me germën ,,$e$", pra:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e$. (14)

Ky numër transhendent ($e=2,718281828459\dots$) merret për bazë në logaritmet natyrale që shënohen $\ln x(={\log }_{e}x)$.

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet ${(1+\frac{1}{n^3+4})}^{5n^3+3}$.

Stampa:Z g j i d h j e Meqenëse:

${(1+\frac{1}{n^3+4})}^{5n^3+3}={\left[{(1+\frac{1}{n^3+4})}^{n^3+4}\right]}^{\frac{5n^3+3}{n^3+4}}$

dhe

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n^3+4})}^{n^3+4}=e,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5n^3+3}{n^3+4}=5$,

konkludojmë:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n^3+4})}^{5n^3+3}=e^5$.

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n[\ln (n+1)-\ln n]$.

Stampa:Dygishta

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n[\ln (n+1)-\ln n]& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\ln \frac{n+1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\ln (1+\frac{1}{n})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln {(1+\frac{1}{n})}^n\\ & =\ln \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=\ln e=1\end{array}$

.

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta