Hipi Zhdripi i Matematikës/1234

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:T e o r e m a, pra:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} =$	$\underline{\lim_{n \to \infty} a_{n}}$	(9)
	$\lim_{n \to \infty} b_{n}$

Stampa:V ë r t e t i m Ngase:

| \frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a}{b} | = | \frac{a_{n} b - a b_{n}}{b b_{n}} | = | \frac{a_{n} b - a b + a b - a b_{n}}{b b_{n}} | = | \frac{b (a_{n} - a) + a (b - b_{n})}{b b_{n}} |

Stampa:Dygishta $⩽ | \frac{a_{n} - a}{b_{n}} | + | \frac{a}{b} | | \frac{b_{n} - b}{b_{n}} | = | \frac{1}{b_{n}} | | a_{n} - a | + | \frac{a}{b} | | \frac{1}{b_{n}} | | b_{n} - b |$

dhe meqenëse për vargjet konvergjente

(a_{n}), (b_{n})

për çdo

ε > 0

ekzistojnë dy numra

ℕ_{1} (= (ℕ_{1} (ε))

dhe

ℕ_{2} (= ℕ_{2} (ε))

të atillë që

(\forall n > ℕ_{1}) | a_{n} - a | < | b_{n} | \frac{ε}{2}

dhe

(\forall n > ℕ_{2}) | b_{n} - b | < | \frac{b}{a} | b_{n} | \frac{ε}{2} |

,

marrim

ku

ℕ = m a x (ℕ_{1}, ℕ_{2})

. Pra, konkludojmë se formula (9) është e saktë.

Stampa:Dygishta Kur $a_{n} = c (n = 1, 2, \dots)$ , formula (9) merr trajtën:

$\lim_{n \to \infty} \frac{c}{b_{n}} =$	$c$	(9a)
	$\overline{\lim_{n \to \infty} b_{n}}$

Stampa:Dygishta Vargjet $(a_{n})$ , $(b_{n})$ për të cilat vlen relacioni

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c, c \neq 0

(10)

quhen vargje asimptotisht proporcionale dhe shënohen

(a_{n}) \sim (b_{n})

, pra:

(a_{n}) \sim (b_{n}) \overset{p \ddot{e} r k}{\Leftrightarrow} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c, c \neq 0

. (10a)

Stampa:Dygishta Kur $c = 1$ , vargjet $(a_{n})$ , $(b_{n})$ quhet vargje asimptotisht të barabarta dhe shënohen $(a_{n}) \approx (b_{n})$ , pra:

(a_{n}) \approx (b_{n}) \overset{p \ddot{e} r k}{\Leftrightarrow} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 1

. (11)

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta

Hipi Zhdripi i Matematikës/1234

Menuja e navigimit

Kërko