Hipi Zhdripi i Matematikës/1233

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:V ë r t e t i m Të vërtetojmë formulën (7) për shumën e dy vargjeve, respektivisht:

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|(a_n+b_n)-(a+b)|<\epsilon ,\mathrm{k}\mathrm{u}\mathbb{N}=\mathbb{N}(\epsilon )$.

Stampa:Dygishta Meqenëse vargjet $(a_n)$ dhe $(b_n)$ janë konvergjente, del se për çdo $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, ekzistojnë dy numra natyralë ${\mathbb{N}}_1(={\mathbb{N}}_1(\epsilon ))$ dhe ${\mathbb{N}}_2(={\mathbb{N}}_2(\epsilon ))$ të atillë që

$(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_1)|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2}\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_2)|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2}$.

Stampa:Dygishta Mirëpo, pasi që:

$|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|⩽|a_n-a|+|b_n-b|$ ,

kemi

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|(a_n+b_n)-(a+b)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$,

ku $\mathbb{N}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}({\mathbb{N}}_1,{\mathbb{N}}_2)$. Pra, konkludojmë se formula (7) është e saktë.

Stampa:Dygishta Kur $b_n=c(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})(n=1,2,\dots )$,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n+c)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n+c$. (7a)

Stampa:T e o r e m a, pra:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n\cdot b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$. (8)

Stampa:V ë r t e t i m Këtu duhet të vërtetojmë se për çdo $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë numri $\epsilon$, ekziston numri $\mathbb{N}(=\mathbb{N}(\epsilon ))$ i tillë që

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n{b}_n-ab|<\epsilon$.

Stampa:Dygishta Ngase

$|a_n{b}_n-ab|=|a_n{b}_n-a{b}_n+a{b}_n-ab|=|b_n(a_n-a)+a(b_n-b)|⩽$ $⩽|b_n||a_n-a|+|a||b_n-b|$,

dhe pasi që për vargjet konvergjente $(a_n),(b_n)$ për çdo $\epsilon >0$, ekzistojnë dy numra ${\mathbb{N}}_1(={\mathbb{N}}_1(\epsilon ))$ dhe ${\mathbb{N}}_2(={\mathbb{N}}_2(\epsilon ))$ të atillë që

$(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_1)|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2|b_n|}\mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}(\mathrm{\forall }n>{\mathbb{N}}_2)|b_n-b|<\frac{\epsilon }{2|a|}$,

prandaj marrim:

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n{b}_n-ab|<|b_n|\frac{\epsilon }{2|b_n|}+|a|\frac{\epsilon }{2|a|}=\epsilon$,

ku $\mathbb{N}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}({\mathbb{N}}_1,{\mathbb{N}}_2)$. Pra, konkludojmë se formula (8) është e saktë.

Stampa:Dygishta Kur $b_n=c(n=1,2,\dots )$, atëherë

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(c{a}_n)=c\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ . (8a)