Hipi Zhdripi i Matematikës/1229

1.2. LIMITI I VARGUT, VARGJET KONVERGJENTE DHE DIVERGJENTE

Stampa:DygishtaNjë ndër konceptet fundamentale të analizës matematike është koncepti i vlerës kufitare - i limitit. Të përkufizojmë këtu, së pari, \lim{n\to\infty}itin e vargut numerik.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.2.1. - Numri $a$ quhet limit i vargut $(a_n)$ në qoft se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë $\epsilon$, ekziston numri përkatës natyral $\mathbb{N}(=\mathbb{N}(\epsilon ))$ i tillë që

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n-a|<\epsilon$. (4)

[1]

Stampa:DygishtaKy fakt simbolikisht shkruhet:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{a}_n\to a\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}n\to \mathrm{\infty }$

dhe lexohet: limiti i $a_n$ kur $n$ shkon (tenton) në infinit është i barabartë me $a$, ose $a_n$ shkon në $a$ kur $n$ shkon në infinit.

Stampa:DygishtaP.sh.: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n-1}=1$; $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{-1}=0$; $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^2=\mathrm{\infty }$, ndërsa $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{(-1{)}^n}$ nuk ekziston.

Stampa:DygishtaMeqenëse me jobarazinë $|a_n-a|<\epsilon$ përcaktohet e ashtuquajtura $\epsilon$- rrethinë e pikës $a$ (kap. II, p. 4.2.), për $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$ mund ta japim këtë domethënie gjeometrike:

Stampa:DygishtaKur $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$, $\epsilon$ - rrethinë e pikës $a$, sado i vogël qoftë numri $\epsilon$, përmban pafund shumë kufiza të vargut $(a_n)$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.2.2. - Vargu $(a_n)$ quhet varg konvergjent, nëse ekziston një numër real $a$ i tillë që

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$.

Vargu që nuk është konvergjent quhet varg divergjent.[2]

Fig. 7.1.

Për shembull:

-${\left(\frac{n+1}{n}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ është varg konvergjent, sepse $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n}=1$;

-$(n^2{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=1$ është varg divergjent, sepse $\lim n\to \mathrm{\infty }{n}^2=\mathrm{\infty }$; dhe

-${\left(n^{(-1{)}^n}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ është varg divergjent, sepse nuk ekzistonlimiti i tij.

Stampa:DygishtaPër përkufizimin e vargut konvergjent $(a_n)$, siç shihet, kërkohet ekzistenca e numrit $a$, i cili është i barabartë me vlerën kufitare të tij. Mirëpo, rëndom dëshirohet që konditat e konvergjencës së vargut $(a_n)$ të shprehen me vetë