Hipi Zhdripi i Matematikës/1212

ndërkaq, prerja e tij me planin $z=k(c<k\in ℝ)$ është elipsa

$frac{x}^2{a}^2+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}=-1,z=k$ .

Stampa:Dygishta Prerja e hiperboloidit rrotullues (49a) me planin $z=k(c<k\in ℝ)$ është rrethi

$x^2+y^2=a^2(\frac{k^2}{c^2}-1),z=k$ .

Stampa:S h e m b u l l i Të gjendet ekuacioni i sipërfaqes rrotulluese që përftohet me rrotullimin e hiperbolës

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,z=0$

rreth boshtit: (1) $Oy$ ; (2) $Ox$ .

Stampa:Z g j i d h j e (1) Me rrotullimin e hiperbolës së dhënë rreth boshtit $Oy$ formohet sipërfaqja rrotulluese ${𝐒}_1$ (fig. 6.21.). Le të jetë , $M(x,y,z)$ një pikë çfarëdo e asaj sipërfaqeje, kurse $N$ pozita e asaj pike në hiperbolën e dhënë. Meqenëse

Fig. 6.21.

$O_{1}M=O_{1}N=\sqrt{x^2+z^2}$ ,

koordinatat e pikës $N$ janë $N(\sqrt{x^2+z^2},y,0)$ . Kur këto koordinata i zëvendësojmë në ekuacionin e hiperbolës, përftohet

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ .

Stampa:Dygishta Pra, sipërfaqja e kërkuar është hiperboloidi rrotullues me një napë, ku $Oy$ është boshti imagjinar i tij. Stampa:Dygishta (2) Me rrotullimin e hiperbolës së dhënë rreth boshtit $Ox$ formohet sipërfaqja rrotulluese ${𝐒}_2$ (fig. 6.21a), ku

$O_{1}M=O_{1}N=\sqrt{y^2+z^2}$

Fig. 6.21a.

prandaj $N(x,\sqrt{y^2+z^2},0)$ . Me zëvendësimin e koordinatave të kësaj pike në ekuacionin e hiperbolës së dhënë, marrim ekuacionin e sipërfaqes rrotulluese ${𝐒}_2$ .

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1$

që është hiperboloidi rrotullues me me dy napa, boshti real i të cilit ështëboshti $Ox$ .