Hipi Zhdripi i Matematikës/1206

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Z g j i d h j e Normalja e përbashkët e dy drejtëzave mund të shprehet si prerje e dy planeve ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ku plani ${\alpha }_1$ kalon nëpër drejtëzën ${𝐝}_1$, dhe është komplanar me vektorin $\overrightarrow{a}(={\overrightarrow{a}}_1\times {\overrightarrow{a}}_2)$, kurse plani ${\alpha }_2$ kalon nëpër drejtëzën ${𝐝}_2$ dhe është komplanar me vektorin $\overrightarrow{a}$, ku ${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$ janë vektorët drejtues të drejtëzave ${𝐝}_1$, dhe ${𝐝}_2$. Nga këto të dhëna konkludojmë se ekuacionet e planeve ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ janë:

${\alpha }_1:[(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\times {\overrightarrow{a}}_1]\cdot \overrightarrow{a}=0,{\alpha }_2:[(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_2)\times {\overrightarrow{a}}_2]\cdot \overrightarrow{a}=0$,

ku $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_1\times {\overrightarrow{a}}_2=13\overrightarrow{i}-9\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$.

Stampa:Dygishta Në trajtën skalare këto ekuacione shprehen

$\begin{array}{ccc}x+5& y-1& z+1\\ 2& 3& 1\\ 13& -9& 1\end{array}=0,\begin{array}{ccc}x-2& y& z+1\\ 1& 2& 5\\ 13& -9& 1\end{array}=0$.

ose

$12x+11y-57z-8=0,47x+64y-35z-129=0$.

Stampa:Dygishta Pra, sistemi i ekuacioneve

$\begin{array}{ccccccccc}12x& +& 11y& -& 57z& -& 8& =& 0\\ 47x& +& 64y& -& 35z& -& 129& =& 0\end{array}$

përcakton normalen e përbashkët të drejtëzave ${𝐝}_1$, ${𝐝}_2$.

4. SIPËRFAQET E GRADËS SË DYTË

4.1. EKUACIONI I PËRGJITHSHËM I SIPËRFAQES SË GRADËS SË DYTË

Stampa:Dygishta Në sistemin koordinativ kartezian $0xyz$ ekuacioni i gradës së dytë me tri të panjohura $x,y,z$:

$\begin{array}{cc}f(x,y,z)\equiv A_1{x}^2+A_2{y}^2+A_3{z}^2& +2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz+\\ & +2C_{1}x+2C_{2}y+2C_{3}z+D=0\\ \end{array}$, (...45)

paraqet sipërfaqen $𝐒$ që quhet sipërfaqja e gradës së dytë. Parafytyrime të qarta për formën dhe pozitën e sipërfaqes së gradës së dytë përftohen nga prerjet e saja me plane paralele me planet koordinative $x0y$, $x0z$, $y0z$ si dhe me vetë ato plane. Këto prerje, si lakore në hapësirë, përcaktohen me sisteme përkatëse ekuacionesh. Kështu, sistemi i ekuacioneve

$f(x,y,z)=0\wedge z=k$ (...3c)

përcakton lakoren $𝐋$, e cila përftohet si prerja e sispërfaqes së gradës së dytë $𝐒:f(x,y,z)=0$ me planin $\alpha :z=k$. Në mënyrë analoge përcaktohen prerjet e sipërfaqes $𝐒$ me plane të tjera dhe pastaj, në bazë të atyre prerjeve, përcaktohet forma dhe pozita e sipërfaqes së gradës së dytë.