Hipi Zhdripi i Matematikës/1201

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta qëllim e zëvendësojmë shprehjen për vektorin $\overrightarrow{r}$ prej ekuacionit të parë në të dytin

$({\overrightarrow{r}}_1+\lambda \overrightarrow{a})\cdot {\overrightarrow{a}}_1=b$

prej nga marrim

$\lambda \frac{{\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{a}}_1-b}{\overrightarrow{a}.{\overrightarrow{a}}_1}$.

Pra, vektori i pozitës së pikëprerjes së drejtëzës dhe planit është $\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_1-\frac{{\overrightarrow{r}}_1{\overrightarrow{a}}_1-b}{\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{a}}_1}\overrightarrow{a}$. (...43)

Stampa:Dygishta Kësaj formule vektoriale u korrespondojnë këto tri formula skalare:

$x=x_1-\frac{A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1-b}{Am+Bn+Cp}m,y=y_1-\frac{A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1-b}{Am+Bn+Cp}n$, $z=-z_1\frac{A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1-b}{Am+Bn+Cp}p$. (...43a)

Stampa:Dygishta Nga këto formula shihet se pikëprerja e drejtëzës dhe e planit ekziston vetëm nëse $\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{a}}_1\ne 0$ - nëse drejtëza nuk është paralele me planin. Stampa:Dygishta Kur janë të sakta formulat

${\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{a}}_1=b\wedge \overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{a}}_1=0$ (...44)

thuhet se drejtëza $𝐝$ shtrihet në planin $\alpha$, sepse $𝐝$ e ka një pikë të përbashkët me planin $\alpha$ dhe është paralele me atë plan.

Stampa:Dygishta Konditat (44) në trajtën skalare shprehen me këto formula:

$A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1=b\wedge Am+Bn+Cp=0$. (...44a)

Stampa:S h e m b u l l i Të caktohet pikëprerja e drejtëzës $𝐝$ me planin $\alpha$, nëse ekuacionet e tyre janë:

$𝐝:\frac{x+2}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2},\alpha :2x+3y+3z-8=0$.

Stampa:Z g j i d h j e Aplikojmë formulat (43a) dhe marrim

$x=-2+3=1,y=2-1=1,z=-1+2=1$.

Pra, pikëprerja e drejtëzës $𝐝$ dhe planit $\alpha$ është $P(1,1,1)$.

3.5.2. DISA SHEMBUJ LIDHUR ME DREJTËZËN DHE PLANIN

Stampa:Dygishta 1. Të gjendet ekuacioni i normales lëshuar prej pikës $M_1(1,-2,5)$ në planin $\alpha :2x+7y-z+1=0$. Stampa:Z g j i d h j e Vektori $\overrightarrow{a}(2,7,-1)$ normal në planin $\alpha$ është vektori drejtues i normales së kërkuar, prandaj ekuacioni vektorial i saj është

$(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\times \overrightarrow{a}=0,\text{ku}{\overrightarrow{r}}_1=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$