Hipi Zhdripi i Matematikës/1195

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaKuptohet se këto transformime mund të zhvillohen edhe në kah të kundërt - prej trajtave (27), (28), (29) dhe (29a) të kalohet në ekuacionin e drejtëzës së trajtës (26). Stampa:DygishtaNdërkaq, kur drejtëza shprehet si prerje e dy planeve me sistemin e ekuacioneve

$\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_1=b_1\wedge \overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_2=b_2$,

ky sistem i ekuacioneve transformohet në trajtën e ekuacionit vektorial (26) në këtë mënyrë:

Stampa:DygishtaE shumëzojmë ekuacionin e parë me $-{\overrightarrow{a}}_2$, ndërsa ekuacionin e dytë me ${\overrightarrow{a}}_1$ dhe pastaj këto dy ekuacione i mbledhim:

$(\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_2){\overrightarrow{a}}_1-(\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_1){\overrightarrow{a}}_2=b_2{\overrightarrow{a}}_1-b_1{\overrightarrow{a}}_2$.

Ky relacion, në bazë të formulës për prodhimin e dyfishtë vektorial të tre vektorëve (kap. V, p. 4.4. (30a)), merr këtë trajtë

$\overrightarrow{r}\times ({\overrightarrow{a}}_1\times {\overrightarrow{a}}_2)=b_2{\overrightarrow{a}}_1-b_1{\overrightarrow{a}}_2$ (...31)

ose

$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$,

ku $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_1\times {\overrightarrow{a}}_2,\overrightarrow{b}=b_2{\overrightarrow{a}}_1-b_1{\overrightarrow{a}}_2$.

Stampa:S h e m b u l l i Ekuacionet e drejtëzës

$𝐝$ $x=3+\lambda ,y=1-2\lambda ,z=-2+2\lambda$

të transformohen në formën kanonike, formën normale dhe në trajtën vektoriale. Stampa:Z g j i d h j e Meqenëse

$x-3=\lambda ,\frac{y-1}{-2}=\lambda ,\frac{z+2}{2}=\lambda$

del se forma kanonike e ekuacioneve të drejtëzës është

$\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{2}$

forma normale është:

$\frac{x-3}{\frac{1}{3}}=\frac{y-1}{-\frac{2}{3}}=\frac{z+2}{\frac{2}{3}},\text{ku}|\overrightarrow{a}|=3$

ndërkaq, trajta vektoriale është:

$\overrightarrow{r}=(3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})+\lambda (\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})$.

Stampa:S h e m b u l l i Drejtëza

$𝐝$

paraqitet si prerje e planeve

$\alpha :2x-y+2z+15=0,\beta :6x+3y-3z-1=0$.