Hipi Zhdripi i Matematikës/1182

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Ekuacioni i planit transformohet prej formës së përgjithshme (12) ose (12a) në formën normale (13) ose (13a), kur të dy anët e barazimit (12), respektivisht (12a) pjesëtohen me

$\pm |\overrightarrow{a}|$, përkatësisht me $\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}$,

me ç'rast marrim:

$\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{a}}{\pm |\overrightarrow{a}|}=\frac{b}{\pm |\overrightarrow{a}|}\text{ose}\frac{Ax+By+Cz+D}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0$, (...13b)

ku prej dy parashenjavë ($\pm$) duhet të zgjedhet ajo shenjë që

$\frac{b}{\pm }|\overrightarrow{a}|=\frac{-D}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}}=p>0$. (...14)

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet distanca e origjinës së sistemit koordinativ 0xyz prej planit $\alpha :x-2y+2z+21=0$ dhe të caktohet drejtimi i vektorit $\overrightarrow{0P}(\overrightarrow{0P}\perp \alpha )$. Stampa:Z g j i d h j e Meqë $|\overrightarrow{a}|=3$, del se

$p=\frac{-D}{\pm |\overrightarrow{a}|}=\frac{-21}{-3}=7$.

Stampa:Dygishta Drejtimi i vektorit $\overrightarrow{0P}$ përcaktohet me koordinatat e ortit ${\overrightarrow{a}}_0$:

$\cos \alpha =\frac{A}{|\overrightarrow{0P}|}=\frac{1}{3},\cos \beta =\frac{B}{|\overrightarrow{0P}|}=\frac{2}{3},\cos \gamma =\frac{C}{|\overrightarrow{0P}|}=-\frac{2}{3}$.

2.2.1. DISTANCA E PIKËS PREJ PLANIT

Stampa:Dygishta Le të jetë dhënë plani $\alpha$ me ekuacionin (13) dhe pika $M_1(x_1,y_1,z_1)$ jashtë këtij plani $(M_1\notin \alpha )$. Le të jetë pika $M_2(x_2,y_2,z_2)$ projeksioni normal

Fig. 6.9.

i pikës $M_1$ në planin $\alpha$. Distanca e pikës $M_1$ prej planit $\alpha$ është e barabartë me $|\overrightarrow{M_2{M}_1}|$ dhe shënohet me $d$, pra $d=|\overrightarrow{M_2{M}_1}|$ (fig. 6.9.).

Stampa:Dygishta Nga $△0M_2{M}_1$ shihet se

$\overrightarrow{0M_1}=\overrightarrow{0M_2}+\overrightarrow{M_2{M}_1}$ ose
${\overrightarrow{r}}_1={\overrightarrow{r}}_2+\overrightarrow{M_2{M}_1},\text{ku}\overrightarrow{M_2{M}_1}\Vert \overrightarrow{a}$.

Stampa:Dygishta Kur barazinë e fundit e shumëzojmë në mënyrë skalare me ortin ${\overrightarrow{a}}_0$, marrim

${\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{a}}_0={\overrightarrow{r}}_2{\overrightarrow{a}}_0+\overrightarrow{M_2{M}_1}\cdot {\overrightarrow{a}}_0$