Hipi Zhdripi i Matematikës/1181

e pozitës së një pike çfarëdo (korente) $M$ të planit $\alpha$ (fig. 6.8.). Meqenëse implikacioni

Fig. 6.8.

$\overrightarrow{a}\perp \alpha \Rightarrow \overrightarrow{a}\perp (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)$

është i saktë, shkruajmë:

$(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\cdot \overrightarrow{a}=0$,

ose shkurt

$\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{a}=b$, (...12)

ku $b={\overrightarrow{r}}_1\cdot \overrightarrow{a}$. Formulën (12) e quajmë forma e përgjithshme e ekuacionit të planit në trajtën vektoriale.

Stampa:Dygishta Kur në këtë ekuacion vektorët $\overrightarrow{r}$ dhe $\overrightarrow{a}$ i shprehim me koordinata $\overrightarrow{r}(x,y,z)\overrightarrow{a}(A,B,C)$ dhe njëherësh e zëvendësojmë $b=-D$, e marrim këtë formulë

$(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k})\cdot (A\overrightarrow{i}+B\overrightarrow{j}+C\overrightarrow{k})=-D$ ose $Ax+By+Cz+D=0$ (...12a)

që e quajmë forma e përgjithshme e ekuacionit të planit të shprehur me koordinata.

2.2. FORMA NORMALE E EKUACIONIT TË PLANIT

Stampa:Dygishta Marrim planin $\alpha$ dhe supozojmë se ky plan nuk kalon nëpër origjinën e sistemit koordinativ $0xyz(0\notin \alpha )$. Le të jetë $p(=0P)$ distanca e origjinës së sistemit koordinativ $0xyz$ prej planit $\alpha$, kurse ${\overrightarrow{a}}_0$ ort i vektorit $\overrightarrow{0P}({\overrightarrow{a}}_0\perp \alpha )$ (fig. 6.8.). Shënojmë me $\overrightarrow{r}$ vektorin e pozitës së pikës korente $M$ të planit $\alpha$. Nga $△0PM$ konstatojmë këtë relacion

$pr{.}_{{\overrightarrow{a}}_0}\overrightarrow{r}=0P$ ose $pr{.}_{{\overrightarrow{a}}_0}\overrightarrow{r}=p$.

Meqe $pr{.}_{{\overrightarrow{a}}_0}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_0$, kemi

$\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_0=p,\text{ku}p>0$. (...13)

Stampa:Dygishta Formula (13) quhet forma normale e ekuacionit të planit në trajtën vektoriale. Stampa:Dygishta Kur në këtë ekuacion vektori $\overrightarrow{r}(x,y,z)$ dhe orti ${\overrightarrow{a}}_0(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ shprehen me koordinata, përftohet

$(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k})\cdot (\overrightarrow{i}\cos \alpha +\overrightarrow{j}\cos \beta +\overrightarrow{k}\cos \gamma )=p$

ose

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$. (...13a)

Stampa:Dygishta Formula (13a) quhet forma normale e ekuacionit të planit të shprehur me koordinata, ku

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$,

meqë $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ janë koordinatat e ortit.