Hipi Zhdripi i Matematikës/1179

1.3. NDARJA E SEGMENTIT SIPAS RAPORTIT TË DHËNË

Stampa:Dygishta Le të jetë dhënë segmenti $M_1{M}_2$ me vektorët e pozitës ${\overrightarrow{r}}_1$, ${\overrightarrow{r}}_2$ të ekstremiteteve të vet (fig. 6.6.). Duhet të caktojmë vektorin e pozitës së pikës $M$ e cila e ndan segmentin $M_1{M}_2$ sipas raportit:

$M_{1}M:M{M}_2=\lambda$.

Fig. 6.6.

Stampa:Dygishta Vektorin e kërkuar po e shënojmë me $\overrightarrow{r}(=\overrightarrow{0M})$. Nga të dhënat e paraqitura del se vektorët $\overrightarrow{M_{1}M}$ dhe $\overrightarrow{M{M}_2}$ janë kolinear, ku

$\overrightarrow{M_{1}M}=\lambda \overrightarrow{M{M}_2}$ ose $\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1=\lambda ({\overrightarrow{r}}_2-\overrightarrow{r})$.

Stampa:Dygishta Kur këtë ekuacion vektorial e zgjidhim sipas vektorit $\overrightarrow{r}$, përftohet

$\overrightarrow{r}=\frac{{\overrightarrow{r}}_1+\lambda {\overrightarrow{r}}_2}{1+\lambda }$. (...10)

Stampa:Dygishta Relacioni i fundit paraqet formulën për përcaktimin e vektorit të pozitës së pikës që e ndan segmentin e dhënë sipas raportit të dhënë. Stampa:Dygishta Për rastin kur vektorët $\overrightarrow{r},{\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2$ janë shprehur me koordinata

$\overrightarrow{r}(x,y,z),{\overrightarrow{r}}_1(x_1,y_1,z_1),{\overrightarrow{r}}_2(x_2,y_2,z_2)$,

formulës vektoriale (...10) i përgjigjen këto tri formula skalare:

$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda },z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda }$. (10a)

Stampa:Dygishta Në rastin e posaçëm, kur pika $M$ ndodhet në mesin e segmentit $M_1{M}_2$, atëherë $\lambda =1$ dhe formulat (10) dhe (10a) marrim trajtën:

$\overrightarrow{r}=\frac{{\overrightarrow{r}}_1+{\overrightarrow{r}}_2}{2}$ (...11)

respektivisht

$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2},z=\frac{z_1+z_2}{2}$. (...11a)