Hipi Zhdripi i Matematikës/1176

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta 1° Pozita e planit $\mu$ i cili kalon nëpër pikën $M$ dhe boshtin $0z$ përcaktohet ndaj planit të meridianit të parë ${\mu }_1$ me këndin $\phi$ (ku $0⩽\phi <2\pi$).

Fig. 6.3.

Stampa:Dygishta 2° Pozita e pikës $M$ në planin e meridianit $\mu$ përcaktohet me radius-vektorin $\overrightarrow{0M}=\rho$ (ku $0⩽\rho <+\mathrm{\infty }$) dhe me këndin $\theta$ që paraqet këndin komplementar të këndit ndërmjet radius-vektorit $\overrightarrow{0M}$ dhe boshtit $0z(\text{ku}-\frac{\pi }{2}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2})$ (fig. 6.3.). Stampa:Dygishta Me këta tre skalarë $\phi ,\rho ,\theta$ plotësisht përcaktohet pozita e pikës $M$ në hapsërië. Këto quhen koordinata sferike të pikës $M$ dhe shënohet $M(\phi ,\rho ,\theta )$. Stampa:Dygishta Në sistemin sferik kemi këto sipërfaqe koordinative: Stampa:Dygishta - kur $\phi =\mathrm{const}$, sipërfagja koordinatiye është një plan (i meridianit), i cili kalon nëpër boshtin $0z$; Stampa:Dygishta - kur $\rho =\mathrm{const}$, sipërfagja koordinative është një sferë me qendrën në polin $0$ e me rrezen $r=\rho$ dhe Stampa:Dygishta - kur $\theta =\mathrm{const}$, sipërfagja koordinative është një sipërfaqe konike rrethore me kulmin në polin $0$, e përftuesat (generatrisat) e së cilës formojnë këndin $\frac{\pi }{2}-\theta$ me boshtin $0z$. Stampa:Dygishta Verifikoni këto pohime! Përcaktoni sipërfaqen koordinative nëse: (1) $\phi =\frac{\pi }{2}$ (2) $\rho =1$; (3) $\theta =0$. Stampa:Dygishta Le të ndërtojmë tani sistemin kartezian $0xyz$ ndaj sistemit sferik ashtu që plani koordinativ $x0z$ të përputhet me planin e meridianit të parë ${\mu }_1$, kurse boshtet koordinative $0x$ dhe $0y$ të orientohen në mënyrë që me boshtin $0z$ të formojnë reperin e djathtë (fig. 6.3.). Në këto kushte koordinatat karteziane $x,y,z$ të një pike çfarëdo $M$ shprehen nëpërmjet të koordinatave sferike $\phi ,\rho ,\theta$ me anën e këtyre formulave:

$x=\rho \cos \theta \cos \phi ,y=\rho \cos \theta \sin \phi ,z=\rho \sin \theta$. (...6)

Stampa:Dygishta Nga këto formula delë se vektori i pozites $\overrightarrow{0M}$ shprehet me koordinata sferike në këtë mënyrë:

$\overrightarrow{0M}=(\rho \cos \theta \cos \phi )\overrightarrow{i}+(\rho \cos \theta \sin \phi )\overrightarrow{j}+(\rho \sin \theta )\overrightarrow{k}$. (...5a)

Stampa:Dygishta Nga barazitë (6) marrim këto formula:

$\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2},\phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{y}{x},\theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$, (...6a)

ku koordinatat sferike të pikës $M$ shprehen me anën e koordinatave karteziane.