Hipi Zhdripi i Matematikës/1172

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Nëse tani koordinatat $x.y,z$ të pikave $M(x,y,z)$ të sipërfaqes $𝐒$ i shprehim nëpërmjet të dy parametravet ndërmjet tyre të pavarur $u$ dhe $v$, marrim ekuacionet e kësaj sipërfaqeje në formën parametrike:

$x=f_1(u,v),y=f_2(u,v),z=f_3(u,v)$. (...1a)

Stampa:Dygishta Kuptohet, duke eliminuar parametrat $u$ dhe $v$ nga ekuacionet (1a), marrim ekuacionin (1) të sipërfaqes $𝐒$ e sistemin kartezian $0xyz$. Stampa:Dygishta Shqyrtojmë tani edhe rastin kur në ekuacion (1) mungon ndonjëra nga të panjohurat $x$, $y$, $z$. Supozojmë, për shembull, se mungon e panjohura $z$, atëherë kemi:

$f(x,y)=0$. (...2)

Fig. 6.1.

Stampa:Dygishta Dimë se në sistemin koordinativ $x0y$ ekuacioni i këtillë e paraqet një lakore $l$ (fig. 6.1.). Le të jetë $M_0(x_0,y_0)$ një pikë e fiksuar e lakores $l$. Është e qartë se në sistemin koordinativ $0xyz$ në hapësirë edhe koordinatat e pikave $M(x_0,y_0,z)$, ku $z$ është cilido numër real, e redukojnë ekuacionin (2) në një formulë të saktë, meqenëse për ndryshoren $z$ ky ekuacion nuk vë kurrfarë kufizimi. Kështu, në sistemin koordinativ $0xyz$ në hapësirë sipërfaqja e shprehur nga ekuacioni (2), përveç lakores $l$, përmban edhe të gjitha drejtëzat që kalojnë nëpër pikat e asaj lakoreje dhe janë paralele me boshtin e aplikatave $0z$. Një sipërfaqe e këtillë quhet sipërfaqe cilindrike, ku lakorja $l$ quhet drejtuese (direktrisa), kurse drejtëzat paralele quhen përftueset (generatrisat) e sipërfaqes cilindrike. Stampa:Dygishta Në gjeometrinë analitike në hapësirë kryesisht zgjidhen këto dy lloje problemesh: Stampa:Dygishta 1° Përkufizohet një sipërfaqe $𝐒$ e pastaj kërkohet të përcaktohet ekuacioni i saj dhe Stampa:Dygishta 2° Formohet një ekuacion me tri të panjohura $f(x,y,z)=0$ e pastaj kërkohet të përcaktohet shprehja (domethënia) gjeometrike e tij. Stampa:Dygishta Në vazhdim do t'i zgjidhim disa probleme të këtilla si dhe probleme lidhur me lakoret, ngase ato trarjtohen si prerja e dy sipëfaqeve. Vërtet, thuhet: Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.1.2. - Lakore në hapësirë ($𝐋$) quhet bashkësia e pikave të përbashkëta të dy sipërfaqeve ${𝐒}_1$, dhe ${𝐒}_2$, pra: $𝐋={𝐒}_1\cap {𝐒}_2$. Stampa:Dygishta Në bazë të këtij përkufizimi konkludojmë se shprehja (domethënia) gjeometrike e sistemit të dy ekuacioneve me tri të panjohura

$f_1(x,y,z)=0\wedge f_2(x,y,z)=0$ (...3)