Hipi Zhdripi i Matematikës/1162

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet se pikat $A(1,0,1)$, $B(4,4,6)$, $C(2,2,3)$, $D(10,14,17)$ janë komplanarë. Stampa:V ë r t e t i m Duhet vërtetuar se vektorët: $\overrightarrow{AB}(3,4,5)$, $\overrightarrow{AC}(l,2,2)$ dhe $\overrightarrow{AD}(9,14,16)$ janë komplanarë, pra

$(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AD}=\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 1& 2& 2\\ 9& 14& 16\end{array}\right|=0$.

Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet saktësia e formulës

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$,

ku $m$, $n$ janë çfarëdo dy skalarë.

Stampa:Dygishta V ë r t e t i m: Në shprehjen e anës së majtë të barazisë zbatojmë ligjin asociativ dhe distributiv për prodhimin e përzier

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b})$	$=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot m\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot n\overrightarrow{b}$
	$=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}+m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}+n(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}$
	$=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$,

sepse $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=0$ dhe $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{b}=0$.

Stampa:Dygishta Pra, u vërtetua saktësia e formulës së paraqitur.

4.4. PRODHIMI I DYFISHTË VEKTORIAL I TRE VEKTORËVE

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  4.4.1. - Prodhimi i dyfishtë vektorial i tre vektorëve $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ quhet prodhimi vektorial i vektorit $\overrightarrow{a}$ me vektorin $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$ dhe shënohet $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$. Stampa:Dygishta Në bazë të përkufizimit të prodhimit vektorial kemi këto relacione gjeometrike:

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\perp \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c},\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c},\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$

Fig. 5.21.

çka don të thotë se vektorët $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ janë normal në të njëjtin vektor $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$. Nga kjo mund të konkludojmë se vektorët $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ janë komplanarë. E dimë se tre vektorë komplanarë janë linearisht të varur, çka implikon se ekzistojnë dy skalarë $m$ dhe $n$ ashtu që vektori $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$ shprehet si kombinim linear i vektorëve $\overrightarrow{b}$ dhe $\overrightarrow{c}$:

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$. (...30)