Hipi Zhdripi i Matematikës/1156

Projektojmë vektorin $\overrightarrow{a}$ në planin $\alpha$ dhe këtë projeksion e rrotullojmë për 90° rreth boshtit ${\overrightarrow{c}}_0$ në kahun e rrotullimit të akrepave të orës, kështu përftohet vektori $\overrightarrow{0A_2}$, ku

Stampa:Dygishta 1 °. $|\overrightarrow{0A_2}|=|\overrightarrow{0A_1}|=|\overrightarrow{a}|\cos [\frac{\pi }{2}-\sphericalangle (\overrightarrow{a},{\overrightarrow{c}}_0)]=|\overrightarrow{a}|\sin (\overrightarrow{a},{\overrightarrow{c}}_0)$.

Ky vektor plotëson edhe këto dy kushte:

Stampa:Dygishta 2°. $\overrightarrow{0A_2}\perp \overrightarrow{a},\overrightarrow{0A_2}\perp \overrightarrow{c}$; dhe Stampa:Dygishta 3°. $(\overrightarrow{a},{\overrightarrow{c}}_0,\overrightarrow{0A_2})$ - paraqet reperin e djathtë; prandaj konkludojmë se

$\overrightarrow{0A_2}=\overrightarrow{a}\times {\overrightarrow{c}}_0$.

Stampa:Dygishta Shikojmë tani trekëndëshin brinjët e të cilit janë vektorët. $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ dhe projektojmë atë në planin $\alpha$ - përftojmë $△0A_{1}B1$. Rrotullojmë edhe këtë trekëndësh në të njëjtin kah për 90° - marrim $△0A_2{B}_2$. Në mënyrë të njëjtë tani vërtetohet se

$\overrightarrow{0B_2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times {\overrightarrow{c}}_0$ dhe $\overrightarrow{A_2{B}_2}=\overrightarrow{b}\times {\overrightarrow{c}}_0$.

Stampa:Dygishta Nga $△0A_2{B}_2$ marrim se

$\overrightarrow{0B_2}=\overrightarrow{0A_2}+\overrightarrow{A_2{B}_2}$

ku pas zëvendësimeve përkatëse del

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times {\overrightarrow{c}}_0=\overrightarrow{a}\times {\overrightarrow{c}}_0+\overrightarrow{b}\times {\overrightarrow{c}}_0$.

Stampa:Dygishta Kur e shumëzojmë barazinë e fundit me

$|\overrightarrow{c}|$

marrim formulën

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$

çka edhe donim të vërtetonim.

Stampa:Dygishta Nga ligji distributiv i prodhimit vektorial të vektorëve rezulton se dy polinome vektoriale shumëzohen në mënyrë vektoriale sipas rregullave për shumëzimin e polinomeve në algjebër me kusht që të ruhet renditja e faktorëve vektorialë. Kështu, p.sh.:

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{d}$.

Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet identiteti

$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}{)}^2+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}{)}^2=a^2{b}^2$.

Stampa:Dygishta V ë r t e t i m: Meqenëse

$(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}{)}^2=[ab\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}){]}^2=a^2{b}^2{\cos }^2(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$,

dhe

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}{)}^2=[ab\sin (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\cdot {\overrightarrow{c}}_0]=a^2{b}^2\sin (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\cdot ({\overrightarrow{c}}_0{)}^2$ $=a^2{b}^2{\sin }^2(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$