Hipi Zhdripi i Matematikës/1155

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Për prodhimin vektorial të vektorëve vlejnë këto ligje: Stampa:Dygishta 1°. Ligji antikomutativ: $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a})$; Stampa:Dygishta 2°. Ligji asociativ ndaj faktorit skalar:

$m\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}),m\overrightarrow{a}\times n\overrightarrow{b}=mn(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$;

Stampa:Dygishta 3°. Ligji distributiv: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$. Stampa:Dygishta Ligji antikomutativ i prodhimit vektorial të dy vektorëve rrjedh drejtpërsëdrejti nga vetë përkufizimi i këtij veprimi. Stampa:Dygishta Ligji asociativ ndaj faktorit skalar vërtetohet kështu: Stampa:Dygishta Saktësinë e formulës

$m\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

e provojmë duke konstatuar se:

Stampa:Dygishta 1°. Syprinat e paralelogrameve që i përgjigjen prodhimeve vektoriale që paraqesin anët e kësaj formule janë të barabarta; Stampa:Dygishta 2°. Vektorët $m\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ dhe $m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ janë kolinearë dhe Stampa:Dygishta 3°. Reperet $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$, $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}))$ kanë orientime të njëjta. Stampa:Dygishta Duke pasur parasysh këto të dhëna, konkludojmë se është e saktë formula e paraqitur. Stampa:Dygishta Vërtetimi i ligjit distributiv është diçka më i komplikuar. Së pari vërtetojmë rastin kur vektori i tretë është vektor njësh:

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times {\overrightarrow{c}}_0=\overrightarrow{a}\times {\overrightarrow{c}}_0+\overrightarrow{b}\times {\overrightarrow{c}}_0$.

Stampa:Dygishta Veprojmë kështu: Stampa:Dygishta Vektorët $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},{\overrightarrow{c}}_0$, i zhvendosim në pozitë siç janë paragitur në fig. 5.19. Marrim planin $\alpha$ që kalon nëpër origjinën $0$ e ortit ${\overrightarrow{c}}_0$ dhe $\alpha \perp {\overrightarrow{c}}_0$.

Fig. 5.19