Hipi Zhdripi i Matematikës/1152

4.1.1. PRODHIMI SKALAR I VEKTORËVE TË SHPREHUR ME KOORDINATA

Stampa:Dygishta Duke pas parasysh relacionin përkufizues (20), përpilohet tabela e prodhimit skalar të orteve $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ (ku $\overrightarrow{i}\perp \overrightarrow{j}\perp \overrightarrow{k}$):

$\begin{array}{cccc}\cdot & \overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \overrightarrow{i}& 1& 0& 0\\ \overrightarrow{j}& 0& 1& 0\\ \overrightarrow{k}& 0& 0& 1\end{array}$.

Stampa:Dygishta Prodhimi skalar i vektorëve $\overrightarrow{a}(x_1,y_1,z_1)$, $\overrightarrow{b}(x_2,y_2,z_2)$ shprehet me formulën:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$, (...20b)

ndërkaq kosinusi i këndit ndërmjet tyre me formulën:

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$ (...21a)

Stampa:Dygishta Kur në relacionin e fundit për vektorin $\overrightarrow{b}$ e marrim me radhë: $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{k}$, përftojmë formulat (11a). Stampa:S h e m b u l l i Të caktohen koordinatat e vektorit $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$, në mënyre qe të jetë normal me vektorët $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ dhe $\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$. Pastaj të njehsohet moduli i vektorit $\overrightarrow{a}$ dhe këndi që bën me vektorin $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Stampa:Z g j i d h j e Nga të dhënat e problemit kemi këto relacione:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$

dhe

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0$

që redukohen në këtë sistem ekuacionesh:

$\begin{array}{c}2y+z=1\\ 3y+z=6\end{array}$

zgjidhja e të cilit është $(5,-9)$. Pra, vektori i kërkuar është $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-9\overrightarrow{k}$.

Stampa:Dygishta Intensitetin dhe këndin e njehsojmë duke shfrytëzuar formulat (10) dhe (21):

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+5^2+(-9{)}^2}=\sqrt{110}$,

dhe

$\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\frac{\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|}=\frac{(2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-9\overrightarrow{k})\cdot (2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})}{\sqrt{110}\cdot \sqrt{6}}=0$

pra: $\sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=90^{\circ }$.

Stampa:S h e m b u l l i Le të jenë dhënë dy pika $M(-3,5,-4)$, $N(6,-7,8)$. Të njehsohet projeksioni i vektorit $\overrightarrow{a}(2,-1,3)$ në vektorin $\overrightarrow{MN}$.

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta