Hipi Zhdripi i Matematikës/1138

2.3. SHUMËZIMI DHE PJESËTIMI I VEKTORIT ME SKALAR

Stampa:Dygishta Le ta aplikojmë formulën (1b) për rastin kur mbledhësit (komponentet) janë të barabartë : ${\overrightarrow{a}}_1={\overrightarrow{a}}_2=\dots ={\overrightarrow{a}}_n=\overrightarrow{a}$. Do të të përftohet:

${\overrightarrow{a}}_1+{\overrightarrow{a}}_2+\dots +{\overrightarrow{a}}_n=n\overrightarrow{a}$. (...3)

Vektori i përftuar $n\overrightarrow{a}$ është kolinear me vektorin $\overrightarrow{a}$ dhe paraqet prodhimin e vektorit $\overrightarrow{a}$ me skalarin $n$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.3.1. - Prodhimi i vektorit $\overrightarrow{a}$ me skalarin $n$ është vektori kolinear $\overrightarrow{b}(=n\overrightarrow{a})$, intensiteti i të cilit është $|n|$ herë më i madh se intensisteti i vektorit $\overrightarrow{a}$, ndërsa kahu i njëjtë apo i kundërt me kahun e vektorit $\overrightarrow{a}$, varësisht se a është $n>0$ apo $n<0$. Stampa:Dygishta Nga ky përkufizim del se çdo vektor $\overrightarrow{a}$ mund të paraqitet në formë të prodhimit të modulit $|\overrightarrow{a}|$ dhe ortit ${\overrightarrow{a}}_0$ të vet:

$\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cdot {\overrightarrow{a}}_0$. (...4)

Stampa:Dygishta Vektori

$\overrightarrow{a}$

pjesetohet me skalarin

$n(\ne 0)$

, kur shumëzohet me

$\frac{1}{n}$

:

$\overrightarrow{a}:n=\frac{1}{n}\overrightarrow{a}$. (...5)

Stampa:Dygishta Duke pasur parasysh këtë relacion, formula (4) mund të paraqitet në këtë trajtë:

${\overrightarrow{a}}_0=\frac{1}{|\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}$, (...4a)

d.m.th. orti i një vektori është i barabartë me herësin e vektorit me modulin e tij.

Stampa:Dygishta Përkufizimi 2.3.1. përcakton prodhimin $n\overrightarrow{a}$ si veprim i jashtëm (ligj ekstern) në bashkësinë $\overrightarrow{V}$. Në përgjithësi, thuhet se: Stampa:Dygishta Ndërmjet elementeve të bashkësisë së skalarëve $S$ dhe elementeve të bashkësisë së vektorëve $\overrightarrow{V}$ është përkufizuar një veprim i jashtëm (ligj ekstern), nëse secilës dyshe të renditur $(\alpha ,\overrightarrow{a}$ të elementeve $\alpha (\in S)$ dhe $\overrightarrow{a}(\in \overrightarrow{V})$ i shoqërohet pikërisht një element $\overrightarrow{b}$ i bashkësisë $\overrightarrow{V}$. Stampa:Dygishta Për shumëzimin e vektorit me skalarë viejnë këto ligje: Stampa:Dygishta (b₁) $1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$; Stampa:Dygishta (b₂) $m(n\overrightarrow{a})=(mn)\overrightarrow{a}$; Stampa:Dygishta (b₃) $(m+n)\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{a}$; Stampa:Dygishta (b₄) $m(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=m\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}$. Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta