Hipi Zhdripi i Matematikës/1126

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta2°. Kur $r < n$ (d.m.th. kur $r (A) < n$ ), sistemi i ekuacioneve lineare është i mundshëm, por i pacaktuar dhe ai sistem, respektivisht sistemi (44b), mund të shprehet në formën:

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 r} x_{r} = b_{1} - a_{1, r + 1} x_{r + 1} - & \dots & - a_{1 n} x_{n} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 r} x_{r} = b_{2} - a_{2, r + 1} x_{r + 1} - & \dots & - a_{2 n} x_{n} \\ ⋮ \\ a_{r 1} x_{1} + a_{r 2} x_{2} + \dots + a_{r r} x_{r} = b_{r} - a_{r, r + 1} x_{r + 1} - & \dots & - a_{r n} x_{n} \end{matrix}

Stampa:DygishtaZgjidhja ( $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ ) e këtij sistemi të ekuacioneve lineare varet nga të panjohurat $x_{r + 1}, x_{r + 2}, \dots, x_{n}$ të cilat konsiderohen si parametra. Pra, në këtë rast sistemi i ekuacioneve lineare (44) ka pafund shumë zgjidhjesh. Stampa:DygishtaKur në sistemin e ekuacioneve lineare (44) të gjitha kufizat e lira janë të barabarta me zero ( $b_{i} = 0, i = 1, 2, \dots, m$ ), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve lineare homogjene:

\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} x_{k} = 0 (i = 1, 2, \dots . m)

.(...46)

Stampa:DygishtaKy sistem ekuacionesh lineare homogjene ka vetëm zgjidhjen triviale $x_{1} = 0, x_{2} = 0, \dots, x_{n} = 0$ , nëse $r (A) = n$ . Stampa:DygishtaSistemi i ekuacioneve lineare homogjene (46) ka, përveç zgjidhjes triviale, edhe pa fund shumë zgjidhjesh tjera, nëse $r (A) < n$ . Stampa:S h e m b u l l i Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

\begin{matrix} 3 x_{1} & - & 5 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 2 \\ 7 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & x_{3} & + & 3 x_{4} & = & 5 \\ 5 x_{1} & + & 7 x_{2} & - & 4 x_{3} & - & 3 x_{4} & = & 3 \end{matrix}

Stampa:Z g j i d h j e Këtu $r (A) = 2, r (B) = 3$ , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i pamundshëm. Stampa:S h e m b u l l i Të shgyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

\begin{matrix} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 3 \\ 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \\ - x_{1} & + & 2 x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 2 \end{matrix}

Stampa:Z g j i d h j e Këtu $r (A) = r (B) = 3$ , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i mundshëm dhe është ekuivalett me këtë sistem ekuacionesh:

\begin{matrix} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & x_{3} & = & 3 \\ 2 x_{1} & - & 3 x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & - & 2 x_{3} & = & 5 \end{matrix}

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta

Hipi Zhdripi i Matematikës/1126

Menuja e navigimit

Kërko