Hipi Zhdripi i Matematikës/1121

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaHipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse varësia lineare e rreshtave të matricës $A$ implikon që $\det A=0$ (meqë në atë rast $\det A$ mund të shprehet në formë të shumës së disa përcaktorëve që përmbajnë nga dy rreshta me elemente përkatëse proporcionale). Stampa:DygishtaNga këto që thamë për rreshtat e matricës katrore $A=[a_{ik}{]}_1^n$ vlen edhe për shtyllat e saj, prandaj konkludojmë: Stampa:DygishtaNëse rreshtat e matricës $A=[a_{ik}{]}_1^n$ janë linearisht të varur, atëherë edhe shtyllat e saj janë linearisht të varura; ose në përgjithësi vlen: Stampa:T e o r e m a Në çdo matricë drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ numri i rreshtave të pavarur të saj është i barabartë me numrin e shtyllave të pavarura të saj.

7.4. MATRICAT EKUIVALENTE

Stampa:DygishtaTransformime elementare të matricës quhen këto veprime: Stampa:Dygishta1°. Permutimi i cilido dy rreshtave (ose shtyllave); Stampa:Dygishta2°. Shumëzimi i një rreshti (ose shtylle) me një numër çfarëdo $\lambda .(\ne 0)$; Stampa:Dygishta3°. Mbledhja e një rreshti (ose shtylle) me një rresht (ose shtyllë) tjetër më parë të shumëzuar me një numër çfarëdo. Stampa:DygishtaDy matrica $A,B$ quhen matrica ekuivalente nëse njëra mund të transformohet në tjetrën me një numër të fundëm transformimesh elementare. Matricat ekuivalente shënohen : $A\sim B$. Kuptohet, nëse dy matrica $A,B$ janë ekuivalente, nuk do të thotë se ato janë të barabarta. Pra, ekuivalenca e matricave nuk implikon barabarsinë e tyre

$A\sim B\nRightarrow A=B$,

por implikon barazinë e rangjeve të tyre: $A\sim B\Rightarrow r(A)=r(B)$.

Stampa:T e o r e m aMatricat ekuivalente i kanë rangjet e barabarta. Stampa:V ë r t e t i m Këtu, në të vërtetë, duhet vërtetuar se me transformime elementare nuk ndryshohet rangu i matricës. Stampa:DygishtaPër këtë qëllim le të marrim bashkësinë e formave lineare:

$f_i=\sum _{k=1}^n,a_{ik}{x}_k(l=1,2,\cdots ,m)$

matrica e së cilës është $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$.

Stampa:DygishtaTani arsyetojmë në këtë mënyrë: Stampa:Dygishta1°. Kur në (41a) dy forma lineare çfarëdo permutohen, numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, pra me këtë rast nuk ndryshohet as rangu i matricës $A$; Stampa:Dygishta2°. Kur në (41a) cilëndo formë lineare e shumëzojmë me një numër çfarëdo $\lambda (\ne 0)$, numri i formave të pavarura nuk ndryshohet, prandaj nuk ndryshohet as rangu i matricës $A$; dhe