Hipi Zhdripi i Matematikës/1112

5.6.1. ALGORITMI I GAUSSIT

Stampa:DygishtaNjë metodë praktike për zgjidhjen e sistemit të $n$ ekuacioneve Iineare me $n$ të panjohura është ajo e Gaussit që quhet algoritmi i Gaussit. Të shohim tani këtë algoritëm. Stampa:DygishtaLe të marrim sistemin:

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ & ⋮& \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n& =& b_n\end{array}$

dhe le të supozojmë se $a_{11}\ne 0$. Ekuacionin e parë të këtij sistemi e shumëzojmë me radhë me numrat:

$\frac{a_{21}}{a_{11}},\frac{a_{31}}{a_{11}},\frac{a_{41}}{a_{11}},\dots ,\frac{a_{n1}}{a_{11}}$

dhe barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të dytë, ekuacionit të tretë, . . . , ekuacionit të fundit. Kështu merret sistemi:

$\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& a_{13}{x}_3& +& \cdots +& a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ & & a_{22}^1{x}_2& +& a_{23}^1{x}_3& +& \cdots +& a_{2n}^1{x}_n& =& b_2^1\\ & & a_{32}^1{x}_2& +& a_{33}^1{x}_3& +& \cdots +& a_{3n}^1{x}_n& =& b_3^1\\ & & & & & & & & ⋮& \\ & & a_{n1}^1{x}_2& +& a_{n3}^1{x}_3& +& \cdots +& a_{nn}^1{x}_n& =& b_n^1\end{array}$

Stampa:DygishtaNë këtë sistem e panjohura $x_1$ është eliminuar nga të gjitha ekuacionet, përveç ekuacionit të parë. Përsërisim këtë veprim në sistemin (a) ku ekuacionin e dytë të tij e shumëzojmë me radhë me numrat:

$\frac{a_{32}^1}{a_{22}^1},\frac{a_{42}^1}{a_{22}^1},\frac{a_{52}^1}{a_{22}^1},\dots ,\frac{a_{n2}^1}{a_{22}^1},ku{a}_{22}^1\ne 0$

dhe pastaj barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të tretë, ekuacionit të katërt, . . . , ekuacionit të fundit. Me këtë rast sistemi do ta merrë këtë trajtë:

$\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& a_{13}{x}_3& +& \cdots +& a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ & & a_{22}^1{x}_2& +& a_{23}^1{x}_3& +& \cdots +& a_{2n}^l{x}_n& =& b_2^l\\ & & & & a_{33}^2{x}_3& +& \cdots +& a_{3n}^2{x}_n& =& b_3^2\\ & & & & & & & & ⋮& \\ & & & & a_{n2}^2{x}_3& +& \cdots +& a_{nn}^2{x}_n& =b_n^2\end{array}$

Stampa:DygishtaMe përsëritjen e këtij algoritmi $n-1$ herë do të përftohet sistemi:

$\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& a_{13}{x}_3& +& \cdots +& +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ & & a_{22}^1{x}_2& +& a_{23}^1{x}_3& +& \cdots +& +a_{2n}^1{x}_n& =& b_l^1\\ & & & & a_{33}^3{x}_3& +& \cdots +& +a_{3n}^3{x}_n& =& b_3^2\\ & & & & & & & ⋮& ⋮& \\ & & & & & & & a_{nn}^{n-1}{x}_n& =& b_n^{n-1}\end{array}$(...34a)