Hipi Zhdripi i Matematikës/1106

5.5. SISTEMI I TRI EKUACIONEVE LINEARE ME TRI TË PANJOHURA

Stampa:DygishtaForma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_l+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}$ (...32)

ku numrat $a_{ik}(i,k=1,2,3)$ janë koeficientet, ndërsa numrat $b_i(i=1,2,3)$ janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori

$D=\det [a_{ik}{]}_1^3$

quhet përcaktor kryesor, ndërsa

$D_1=\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}\\ b_2& a_{22}& a_{23}\\ b_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|,D2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& b_1& a_{13}\\ a_{21}& b_2& a_{23}\\ a_{31}& b_3& a_{33}\end{array}\right|,D3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& b_3\end{array}\right|$

quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur $(t_1,t_2,t_3)$quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat $x_1,x_2,x_3$ zëvendësohen me $t_1,t_2,t_3$. Dy sisteme ekuacionesh $S_1,S_2$ me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta.

Stampa:DygishtaFormulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë: Stampa:Dygishta1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{11},A_{21},A_{31}$ dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:

$\begin{array}{c}(a_{11}{A}_{11}+a_{21}{A}_{21}+a_{31}{A}_{31})x_1+(a_{12}{A}_{11}+a_{22}{A}_{21}+a_{32}{A}_{31})x_2+\\ +(a_{13}{A}_{11}+a_{23}{A}_{21}+a_{33}{A}_{31})x_3=b_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+b_3{A}_{31}.\end{array}$

Meqenëse:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{A}_{11}+a_{21}{A}_{21}+a_{31}{A}_{31}=D\\ a_{12}{A}_{11}+a_{22}{A}_{21}+a_{32}{A}_{31}=0\\ a_{13}{A}_{11}+a_{23}{A}_{21}+a_{33}{A}_{31}=0\\ b_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+b_3{A}_{31}=D_1\end{array}$

prandaj merret

$D{x}_1=D_1$;

Stampa:Dygishta2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{12},A_{22},A_{32}$ dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:

$\begin{array}{c}(a_{11}{A}_{12}+a_{21}{A}_{22}+a_{31}{A}_{32})x_1+(a_{12}{A}_{12}+a_{22}{A}_{22}+a_{32}{A}_{32})x_2\\ +(a_{13}{A}_{12}+a_{23}{A}_{22}+a_{33}{A}_{32})x_3=b_1{A}_{12}+b_2{A}_{22}+b_3{A}_{32}.\end{array}$