Hipi Zhdripi i Matematikës/1100

Në përgjithësi, matricës së rendit $nA=[a_{ik}{]}_1^n$ i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin

$\det A=\mathrm{\Sigma }(-1{)}^p{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\dots a_{n{p}_n}$, (26)

(ku $p_1{p}_2\dots p_n$ paraqet një permutacion prej elementeve $1,2,\dots ,n$, kurse $p$ shënon numrin e inversioneve të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit $n$. Në formulën (26) mbledhësit $(-1{)}^p{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\dots a_{n{p}_n}$ quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit $n$ ka gjithsej $n!$ kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej $n$ faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.

5.2. VETITË E PËRCAKTORËVE

Stampa:DygishtaNë bazë të relacioneve përkufizuese (24), (25) të përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë, me njehsime të drejtpërdrejta mund të provohen këto veti të përcaktorëve:

(a1)	$\det A^{\prime }=\det A$
(a2)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$	$=-\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{11}& a_{12}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{11}\\ a_{22}& a_{21}\end{array}\right|$
(a3)	$\alpha \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$	$=\left|\begin{array}{cc}\alpha a_{11}& \alpha a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cc}\alpha a_{11}& a_{12}\\ \alpha a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& \alpha a_{12}\\ a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|$
(a4)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|$	$=0,\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& \alpha a_{12}\\ a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|=0;$
(a5)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}+a\\ a_{21}& a_{22}+b\end{array}\right|$	$=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a\\ a_{21}& b\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}+a& a_{22}+b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a& b\end{array}\right|$
(a6)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$	$=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}+\alpha a_{11}& a_{22}+\alpha a_{12}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}+\alpha a_{21}& a_{12}+\alpha a_{22}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}+\alpha a_{11}\\ a_{21}& a_{22}+\alpha a_{21}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}+\alpha a_{12}& a_{12}\\ a_{21}+\alpha a_{22}& a_{22}\end{array}\right|$
(a7)	Nëse $A=[a_{ik}{]}_1^n,B=[b_{ik}{]}_1^n(n=2\vee 3)$ atëherë $\det (AB)=(\det A)(\det B)$.

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta