Hipi Zhdripi i Matematikës/1095

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:S h e m b u l l i Le të jenë dhënë matricat

$A=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 4\\ 1& 3\\ 1& -5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}5& 1& 0& 3\\ 2& 4& 5& 3\end{array}\right]$

Të njehsohen prodhimet $A\cdot B$ dhe $B\cdot A$.

Stampa:Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:

$A\cdot B=\left[\begin{array}{cccc}24& 12& 10& 18\\ -2& 14& 20& 6\\ 11& 13& 15& 12\\ -5& -19& -25& -12\end{array}\right]$, dhe $B\cdot A=\left[\begin{array}{cc}21& -1\\ 8& 20\end{array}\right]$

Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet se matrica e njësishme $E$ e rendit $n$ është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit $n$. respektivisht se $A\cdot E=E\cdot A=A$. Stampa:DygishtaV ë r t e t i m: Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ për prodhimet $E\cdot A$ dhe $A\cdot E$:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{\delta }_{ij}{a}_{jk}=a_{ik},d_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{jk}=a_{ik}$.

Pra, meqë $c_{ik}=d_{ik}=a_{ik}$ konkludojmë se është i saktë pohimi.

Stampa:DygishtaPër shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje: Stampa:Dygishta(b₁) $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$; Stampa:Dygishta(b₂) $(AB)C=A(BC)$; Stampa:Dygishta(b₃) $(A+B)C=AC+BC$; Stampa:Dygishta(b₄) $A(B+C)=AB+AC$. Stampa:DygishtaTë vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit: $(AB)C=A(BC)$. Stampa:DygishtaLe të supozojmë se matricat A, B, C janë:

$A=[a_{ij}{]}_{m,n},B=[b_{jk}{]}_{n,p},C=[c_{ki}{]}_{p,q}$.

Stampa:DygishtaElementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ të matricës $AB$ është:

$d_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}$.

Stampa:DygishtaElementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $l$ të matricës $(AB)C$ është:

$e_{il}=\sum _{k=1}^p{d}_{ik}{c}_{ki}=\sum _{k1}^p(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk})c_{kl}=\sum _{k=1}^p,\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{c}_{ki}$.